李雅普诺夫稳定性分析.doc

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1、.控制系统的李雅普诺夫稳定性分析内容提要稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系

2、统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。习题与解答5.1判断下列函数的正定性1)2)3)4)5)解1),因为顺序主子式所以，为正定函数。教育资料.2),因为主子式所以不定，为不定函数。3),因为顺序主子式所以为不定矩阵，为不定函数。4),因为顺序主子式所以，为正定函数。

3、5),因为顺序主子式所以，为正定函数。□教育资料.5.2用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。解解方程组得三个孤立平衡点（0，0），（1，－1）和（－1，1）。在（0，0）处将系统近似线性化，得，由于原系统为定常系统，且矩阵的特征根均具有负实部，于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。在（1，－1）和（－1，1）处将系统近似线性化，得，由于矩阵的特征根，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）附近不稳定。在（－1，1）处将系统近似线性化，得，由于原系统为定常系统，且

4、矩阵的特征根，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）和点（－1，1）附近不稳定。该题求解时往往容易忽略平衡点（1，－1）和（－1，1）。□5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。解由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用第一方法比较合适。经计算知矩阵的特征根为，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。教育资料.对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。5.4设线性离散时间系统为试求在平衡状态系统渐近稳定的值范围。解令由方程得解此方程得若要应有。□5.5试用李

5、雅普诺夫方法求系统在平衡状态为大范围渐近稳定的条件。解用李雅普诺夫第一方法。首先求系统矩阵的特征方程由韦达定理，两个特征值同时具有负实部的充要条件为，。□5.6系统的状态方程为教育资料.试计算相轨迹从点出发，到达区域内所需要的时间。解由于，该系统发散，单调增加。注意到，所以此题无解。□5.7给定线性时变系统，判定其原点是否是大范围渐近稳定。解取，则因为，所以系统在原点处大范围渐近稳定。□5.8考虑四阶线性自治系统，，应用李雅普诺夫的稳定判据，试以，表示这个系统的平衡点渐近稳定的充要条件。解在李雅普诺夫矩阵

6、方程式中，令为教育资料.显然，是半正定矩阵。求矩阵方程式的解，是对称矩阵。将方程左边的行列元素记成元素，可求得下面的一系列等式：(1,1)元素(1,2)元素(1,3)元素(1,4)元素(2,2)元素(2,3)元素(2,4)元素(3,3)元素(3,4)元素(4,4)元素由对于(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)元素的等式和，有，，，由对于(1,3)、(2,4)、(1,4)元素的等式，有，，由(1,2)、(2,3)、(3,4)元素，有，，因此教育资料.，，即，为对角线矩阵。因为为半正定阵，所以要检查

7、在原点以外的是否满足系统状态方程。由于满足的同时满足，而时，状态方程的解为，所以满足的状态方程的解只有。由李雅普诺夫的稳定判据，是渐近稳定的充要条件是对角矩阵为正定阵。因此，，，是求的充要条件。□5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式式中，、分别是生物个体数，、、、是不为零的实数。关于这个系统，1)试求平衡点；2)在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。解1)由，，得同时满足这二式的、有两组：、和、。即，系统的平衡点为：平衡点(a)、平衡点(b)、教育资

8、料.2)分两种情况讨论。①平衡点(a)线性化的微分方程为其特征方程式是、时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。②平衡点(b)令，，得因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是其特征方程式为时，特征根是，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。时，特征根是，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。□5.10对于下面的非线性微分方程式试求平衡点；在各平衡点进行线性化，试判别平衡点是否稳定。解由，，知系统的平衡点是，