例题_简单的线性规划问题.ppt

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1、例1．下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素A、B的含量及单价：甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400单价(元/千克)765营养师想购买这三种食品共10千克，使它们所含的维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解：设购买甲种食物x千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物(10－x－y)千克，又设总支出为z元，由题意得z=7x+6y+5(10－x－y)，化简得z=2x+y+50，x，y应满足的约束条件化简得根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示.画直线l0：2

2、x+y=0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点都在l的不包含直线l0的另外一侧.该点到直线l0的距离最小，则这一点的坐标使目标函数取最小值.容易看出，点M符合上述条件，点M是直线y=2与直线2x－y=4的交点.解方程组得点M(3，2).因此，当x=3，y=2时，z取得最小值z=2×3+2+50=58.此时，10－x－y=5.答：购买甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克，付出的金额最低为58元.例2．A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加.已知A区的每位同学往返车费是3元，每人可

3、为5位老人服务；B区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务.如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元.怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？解：设A、B两区参与活动的人数分别为x，y受到服务的老人人数为z，则z=5x+3y，应满足的约束条件是化简得根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示.画直线l0：5x+3y=0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧.该点到直线l0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值.容易

4、看出，点M符合上述条件，点M是直线x－5y+1=0与直线3x+3y=37的交点.解方程组得点M(4，5).因此，当x=4，y=5时，z取得最大值，并且zmax=5×4+3×5=35.答：A、B两区参与活动同学的人数分别为4，5时，受到服务的老人最多，最多为35人.