简单的线性规划典型例题.docx

《简单的线性规划典型例题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、简单的线性规划典型例题—xy-2三0,例1画出不等式组，x+y.4W0,表示的平面区域.x-3y3-0.分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分.解：把x=0,y=0代入-x+y-2中得-0+0-2<0「•不等式-x+y-2E0表示直线-x+y-2=0下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示.说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法.例2画出2x-3、3表示的区域，并求所有的正整数解（x,y）.分析：原不等式等价于,y>2x-3'而求正整数解则意味着x,yJW3.

2、-可编辑修改-有限制条件，即求x.0,y0,xz,yz,2x-3,y".解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x_30,y>0,对于2x-3

3、平面区域的面积.（yE-x+1分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来,判断其形状进而求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值-可编辑修改-加以讨论.解：不等式y引x+1-1可化为y之x(x之一1)或y之一x—2(x<—1);不等式yE-x+1可化为yE—x+1(x20)或yEx+1(x<0).在平面直角坐标系内作出四条射线AB:y=x(x2—1),AC:y=—x—2(x<—1)DE:y=—x+1(x±0),DF:y=x+1(x<0)则不等式组所表示的平面区域如图由于AB与AC、DE与DF互相垂直

4、,所以平面区域是一个矩形.根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为322°所以其面积为3.22xy-12<0例4若x、y满足条件〈3x-2y+10之0,求z=x+2y的最大值和最小x-4y10三0.值.分析：画出可行域，平移直线找最优解.-可编辑修改-解：作出约束条件所表示的平面区域,作直线l：x+2尸z,即y=-2x+1z即可行域，如图所示.它表示斜率为J,纵截距Zmax=228=18Zmin=-222=2为别平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点时，Z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值.说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性

5、目标函数作平移取得最值.例5用不等式表示以A(1,4),B(-3,0),C(-2,-2)为顶点的三角形内部的平面区域.分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线AB的斜率为：kAB=40=1,其方程为y=x+3.1-(-3)可求得直线BC的方程为y=-2x-6.直线AC的方程为y=2x+2.△ABC的内部在不等式x-y+3>0所表示平面区域内，同时在不等式2x+y+6>0所表示的平面区域内，同时又在不等式2x-y+2<0所表示的平面区域内(如图).-可编辑修改-示.所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组x-y30

6、,{2x+y+6a0,表2x-y2:0说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域,注意三角形区域内部不包括边界线.例6已知x+y-5之0,x+y-10W0.求x2+y2的最大、最小值.2分析：令z=x2+y2,目标函数是非线性的.而z=x2+y2=*x2+y2)可看做区域内的点到原点距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题.x；；：：0冷得可彳越(如图所示E=x2+y2而(0,0)到x+y-5=0,x+y-10=0的距离分别为e和£.所以z的最大-可编辑修改-说明：题目中的目标函数是非线性的.解决的方法类似于线性规划问题.可做出图，利用图进行直观的分析.4x3y-20<0,例7

7、设z=7x+5y式中的变量x、y满足下列条件Jx-3y-2<0,求zxwN*,ywN*.的最大值.分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的x、yWN*,故只是可行域内的整数点，然后作出与直线7x+5y=0平等的直线再进行观察.得交点样字解：作出直线l/4x+3y-20=0和直线I2：x-3y-2=0,得可行域如图所示.'4x+3y-20=0x-3y-2=0又作直线l:7x+5y=0,平等移动过点A时，7x+5y取最大值，然而点A不是整数点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为7x+5