2015年长郡中学理实班自主招生考试数学试卷.doc

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1、2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷　一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．（5分）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个2．（5分）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（　　）A．4B．8C．9D．123．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（　　）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△

2、ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（　　）A．AE⊥AFB．EF：AF=：1C．AF2=FH•FED．FB：FC=HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（　　）A．22B．24C．36D．44第23页（共23页）6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（　　）A．30B．35C．56D．448　二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共

3、30分．7．（5分）若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=　　．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过　　小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是　　．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于　　cm．11．（5分）

4、物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是　　．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1第23页（共23页）的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于　　（用a表示）；（2）圆Ck的半径为　　（k为正整数，用a表示，不必证明）

5、　三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．（12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000第23页（共23页）当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积

6、19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（18分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥

7、AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．　第23页（共23页）2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．（5分）（2015•天心区校级自主招生）方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底