格林公式曲线积分课件.ppt

《格林公式曲线积分课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、曲线积分(L:)对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定二代一定(与方向有关)复习二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）［Y－型］［X－型］★如果积分区域为：★如果积分区域为：外限定限方法------投影法内限定限方法--平行线穿越法2.二重积分的计算步骤及注意事项•画出积分域写出边界曲线的方程,并求出交点坐标.•确定积分序•写出积分限•计算要简便积分域分块要少累次积好算为妙（充分利用对称性几何意义和性质）外限定限方法------投影法内限定限方法--平行线穿越法3.二重积分的应用•可求平面图形D的面积•可求曲顶柱体的体积.§3格林公式·曲线积分与路线的无关性

2、一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性一、介绍两个概念设D为平面区域,复连通区域单连通区域DD1.单（复）连通区域：D上有“洞”眼的部分都属于D,复连通区域.否则称为如果D内任一闭曲线所围成则称D为平面单连通区域,2.有界闭区域D的边界曲线L的正向:L由与连成xoyxoy边界曲线的逆时针方向为正向;对于平面单连通区域,边界曲线的外圈,逆时针方向为正向,对于平面复连通区域,边界曲线的里圈,顺时针方向为正向.当观察者沿边界行走时,区域D总在它的左边.定理21.11若函数在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.分析:欲证只须证及yxoD

3、(1)若区域D既是X-型区域，又是Y-型区域,DyxobBaAcdCEyDxocdCEAB证明:同理可证两式相加得DyxobBaA证明(2)D若区域D由分段光滑的闭曲线围成，如图将D分成三个既是X-型又是Y-型的区域ACB证明(3)若区域D是复连通区域(如图)，边界是添加直线段AB，可以把区域D看成是由边界曲线所围成的单连通区域，DAB由(2)知ABD——格林公式;(1)格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广，其中L是D的正向边界曲线(有向性).D是有界闭区域(封在D上有一阶连续偏导数(连续性).区域上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.注意：(2)公式的记忆方法：沟通了(3)对复连通区域D格

4、林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向闭性),(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有:——格林公式;(5)格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，然后再作计算.例1.L为由点(a,0)到(0,0)的上半圆周解:L如图，D添加辅助线：2.注意定理使用的条件.说明：有向性；连续性；封闭性.——格林公式;例2.计算其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限的部分,顺时针方向.xyoBA解:引入辅助曲线，应用格林

5、公式例3.的分段光滑的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.xyoL解:记L所围的闭区域为D，令由格林公式知，其中L为一无重点且不过原点yxo作位于D内圆周其中l的方向取逆时针方向.应用格林公式,得结论:利用格林公式计算L闭合L非闭用格林公式计算二重积分例4.yxo1解:1因此,由格林公式有令则平面区域D的面积SD的公式:总结:(1)(2)(3)(4)0.问题：终点也相同，被积函数相同，但路径不同而积分结果相同.起点和xyo例.计算其中L为(1)抛物线上从o(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线上从o(0,0)到B(1,1)的一段弧；(3)有向折线OAB，这里OAB依次是(0,0),(1,

6、0)(1,1)；(4)闭曲线OABO.回顾3.平面上曲线积分与路径无关的条件yxo（一）曲线积分与路径无关的定义即只与起点和终点有关.则称曲线积分与路径无关.否则与路径有关.G显然任意的闭曲线如果在区域G内对任意的有在G内定理21.12设D是单连通闭区域.若函数在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分与路线无关,只与L的起点及终点有关;(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得所以(iii)

7、(iv)设存在函数使得因此于是由一点处都有以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每解：例5.计算为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线其中L因为则在平面上成立.选择如图所示的路径选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径.（1）新路径的起点与终点不变,（2）解：例6.选择如图所示的路径设曲线积分与路径无关，具有连续的导数，由已知知即由知C=0,则故原式=多元函数的原函数：由此,可以