二重积分计算习题.ppt

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1、二重积分的计算——习题解析与相关练习作业P366利用极坐标计算二重积分其中D是由圆周及直线y=0，y=x所围成的在第一象限内的闭区域。解：在极坐标系中，于是[知识整理]（1）直角坐标系下二重积分的计算I、x型区域（先y后x）II、y型区域（先x后y）（2）极坐标系下二重积分的计算III、方法与步骤①绘出区域D的图形：②确定积分限：③计算积分：④利用奇偶性简化运算。计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函数的奇偶性简化计算。对有xyD关于x、y轴对称f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数）yx注：例1求以xOy面上的圆域为底，圆柱面为侧面，抛物面为顶的曲顶柱体的体积。并在极坐标系下求其二

2、重积分值xyzO2解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为其中积分区域D可表示为由D的对称性及被积函数关于x，y均为偶函数可知其中为D在第一象限部分，于是解法2：（极坐标系下解）在极坐标系中，闭区域D可表示为于是例2计算二重积分D是顶点分别为的三角形闭区域解：xyD续解例3计算二重积分其中解：xyD1D2-1-111如图因此【相关练习】①②③D为圆域D为半圆域例4把下列二重积分化为二次积分（写出两种积分次序）积分区域为抛物线与直线及x轴所围成的闭区域xyD解：解方程组得1所以例5化出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分rxyO解：如图，在极坐标系中，所以aa-a【相关练习】①交换二次积分

3、的次序②把积分化为极坐标形式例6【平均利润问题】设公司销售商品甲x个单位，商品乙y个单位的利润是由下列函数式确定：现已知一周内甲商品的销售量在150～200之间变化，乙商品的销售量在80～100之间变化，试求销售这两种商品一周的平均利润。解：因x,y的变化范围D:150≤x≤200,80≤y≤100,这个区域D的面积为这家公司销售两种商品一周的平均利润是：作业：习题9—2P36914、15、