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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课后课时精练.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3空间向量的数量积运算A级：基础巩固练一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③1与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．0个答案 B解析 如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°.综上可知，①②正确，③不正确．故选B.2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈，〉＝( )A．30°B．60°C．90°D．120
2、°答案 D解析 连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°.3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC一定是( )A．等边三角形B．斜三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案 C解析 ∵＋＝，－＝，∴·＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形．4．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( )A.·＜·B.·＝·C.·＞·D.·与·不能比较大小
3、答案 C解析 易知AE⊥BC，∴·＝0，·＝(＋)·＝·(－)＋·＝
4、
5、·
6、
7、cos120°－
8、
9、
10、
11、cos120°＋
12、
13、
14、
15、·cos120°＜0.∴·＞·.5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析 ＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又
16、
17、＝2，
18、
19、＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.6．正三棱柱AB
20、C－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )A．2B.C.D.答案 C解析 如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知
21、a
22、＝
23、b
24、＝
25、c
26、＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以
27、
28、2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以
29、EF
30、＝.二、填空题7．已知空间向量a，b，
31、a
32、＝3，
33、b
34、＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n
35、，则λ的值为________．答案 －解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，∴λ＝－.8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，
36、a
37、＝3，
38、b
39、＝1，
40、c
41、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案 －13解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.9．设a，b，c是任意的非零向量
42、，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②
43、a
44、－
45、b
46、<
47、a－b
48、；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9
49、a
50、2－4
51、b
52、2.其中真命题的序号是________．答案 ②④解析 ①由向量数乘与数量积的区别，易知不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积运算可知成立．三、解答题10．如图所示，在平面角为120°的二面角α
53、－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°.∴
54、
55、2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.B级：能力提升练 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求证：CC1⊥BD
56、；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．解 (1)证明：设＝a，＝b，＝c.由题意得
57、a
58、＝
59、b
60、，＝－＝a－b.，，两两夹角的大小相等，设为θ，于是·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝
61、c
62、·
63、a
64、cosθ－
65、c
66、·
67、b
68、cosθ＝0，∴CC1⊥BD.(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－c2＝
69、a
70、2－
71、c
72、2＋
73、b
74、
75、a
76、co
