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时间：2020-01-22
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1、第二节偏导数与高阶偏导数一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是中的x固定于x0处,求一阶导数与二阶导数.关于t的将振幅定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处
2、的切线斜率.是曲线对y轴的例1.求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为例5.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及例如,二者不等例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程则定理.例如
3、,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等证明习题设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:
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