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1、常微分方程微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.求所满足的微分方程.例1.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y
2、)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第二节转化可分离变量微分方程第二节解分离变量方程可分离变量方程分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)≠0时,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由②确定例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特
3、解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:积分齐次方程第三节一、齐次方程二、可化为齐次方程的方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)此处例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.(h
4、,k为待二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则
5、故原方程的通解即即作变换两端积分得例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令例3.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量y为自变量的一阶线性方程二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:第五节全微分方程判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,③为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积
6、分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.则称为全微分方程.③例.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为法1法2此全微分方程的通解为,则有两边对y求导得④⑤由④得与⑤比较得因此方程的通解为例.求解解:∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或例：解方程这不是一个全微分方程,就化成例9的方程.使为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注:若存在连续可微函数积分因子.可降阶高阶微分方程第六节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一
7、、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程例1.解:型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:例.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得
