二次函数的图像和性质1.ppt

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1、27.2.1二次函数的图象与性质(一)二次函数的定义:函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做x的二次函数思考:你认为判断二次函数的关键是什么?判断一个函数是否是二次函数的关键是:看二次项的系数是否为0.练习:若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数,则m______探究1:二次函数的图象1:画出y=x2的图象。解:(1)列表x…-3-2-10123…y…9410149…以0为中心选取7个x值列表(2)描点(3)连线x…-3-2-10123…y…9410149…X0108642-5

2、5Y轴对称图形这是一条抛物线这是抛物线的顶点对称轴是y轴2:请同学们画出y=-x2的图象。x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…3.探究2:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。两个图象关于x轴对称。定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.8642-2-4-6-85yox探究3,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律

3、.1.抛物线y=x2的图象开口向上,抛物线y=-x2的图象开口向下.2.图象的顶点都在原点.y=x2的顶点是图象的最低点,y=-x2的顶点是图象的最高点.8642-2-4-6-85yoX结论:二次函数y=ax2的图象与性质1.顶点都在原点;当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.3.还可以发现,|a|越大,则开口越小;|a|越小,则开口越大探究4、观察图形,Y随X的变化如何变化?y=-2x2x8642-2-4-6-85yoy=2x2当a>0时,对称轴的左侧:y随x的增大而减小;对称轴的右侧:y随x的增大而增大。当a<0

4、时,对称轴的左侧:y随x的增大而增大;对称轴的右侧:y随x的增大而减小。6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点对称轴开口图象左侧右侧xyxya>0a<0(0,0)最低点(0,0)最高点y轴y轴向上向下增大增大减小增大增大减小6210增大增大(2)、开口方向:当a大于0时,开口向上;当a小于0时,开口向下。二次函数y=ax2的图象的性质(1)、顶点是原点,对称轴是y轴。a>0a

5、(x>0):当a<0时当a>0时,在对称轴的左侧(x<0):y随x的增大而增大。在对称轴的右侧(x>0):y随x的增大而减小。∴当x=0时,y最小值=o.∴当x=0时,y最大值=o.试一试:1、函数y=2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而;2、函数y=-3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而;3、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是()A若a,b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等。B对

6、于同一个自变量x,有两个函数值与它对应。C对任一个实数y,有两个x和它对应。D对任意实数x,都有y>0xyoA例1、已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向下(1)求m的值和函数解析式。(2)x在何范围内,y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?xyo练习一2、已知函数是二次函数,且开口向上。求m的值及二次函数的解析式,并回答y随x的变化规律1、已知y=(k+2)x是二次函数,且当x>0时,y随X增大而增大,则k=;k2+k-4例2、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求:(1)a与b的值;(2

7、)求抛物线y=ax2的解析式,并求顶点坐标和对称轴;(3)x取何值时,二次函数y=ax2的y随x增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形的面积。OABxyy=-2先代入直线,得到交点再代入二次函数例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的交点坐标yxO求抛物线与直线的交点坐标的方法:两解析式联列方程组y=4x2y=3x+1回顾练习及提高:1、二次函数    的顶点坐标是,对称轴是,图像在 轴的(顶点除外),开口方向向,当时, 随着 的增大而减小,当时, 随着的增大而增大。2、抛物线    ,当时

8、, 随着 的增大而减小,当时,函数 有最值,此时 =。3、根据二次函数    的图像的性质,回答下列问题:(1)如果点P在抛物线   上,那么点Q也在这条抛物线上吗?为什么?(2)当   时,设自变量 , 的对应值分别为 , ,当     时,必有   吗?为什么?小结:(1)顶点都在原点;对称轴是y轴

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