本节内容提要.ppt

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1、本节内容提要一、微分的定义三、微分的几何意义四、微分公式和运算法则五、微分在近似计算中的应用二、可微的充要条件第六节函数的微分及其应用本节重点：函数的微分定义，计算本节难点：函数的微分定义教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：4课时一、微分的定义前面我们学习了导数，导数即函数的变化率它表示函数相对于自变量变化的快慢程度。在微分学中，很多情形下要研究函数的增量，特别是当自变量的增量很小时首先，看下面例子例1：设一正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长从变化到(如图），求薄片面积的改变量。解：此薄片在温度变化前后的面积分别为故薄片面积的改变量为由两部分组成：

2、一部分是的线性函数（图中有斜线的部分的面积）；另一部分是（图中有网格线的小正方形部分的面积）.当时，第二部分是一个比高阶的无穷小，即，因此，若边长的改变很微小，即很小时，面积的改变量就可用第一部分来表示，而且越小，其近似程度就越好，即抛开基具体意义，抽象一下，可归纳为：2）分为二部分，一是即的线函数，另一部分是当时比高阶的无穷小。3）可以用第一部分A来近似表示函数的增量，这即是微分的概念1）给自变量的取值的增量，相应有函数的增量定义：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可以表示为其中A是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，则称函数在点是可微的，而叫函数y=f(x

3、)在点相应于自变量增量的微分，记作例2：求函数在x=1处的微分解：上式由两部分组成，一是，另一部分是的高阶无穷小，（当）故在x=1处的微分为返回二．可微的充要条件（可微与可导关系）定理：函数在点处可微的充分且必要条件是函数f(x)在点处可导，并且(函数在一点处可微分与可导是等价的)证明：设涵数y=f(x)在处可微，由微分定义有两边同除以有当时，取极限，有反之：设f(x)在处可导，即存在，由极限与无穷小的关系；上式可以表示为，则即故f(x)在点处可微，且一般地，把自变量增量称为自变量的微分，记作即，则函数y=f(x)的微分又可以记作：，于是即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数

4、的导数。因此，导数又称为“微商例3：求在x=1,时的增量及微分解：代入x=1,返回三、微分的几何意义函数y=f(x)的图形为一条曲线,对于，曲线上有一个确定的点，当x有微小增量时，得到曲线上另一点，直线MT是过M点的曲线的切线，由图可即当是曲线上点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当很小时,比小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段返回1.由微分定义,若要求函数的微分，只需计算函数的导数，再乘以自变量的dx,因此根据导数公式和求导的运算法则，即可得到微分的基本公式和运算法则，归纳总结如下：四、微分公式和运算法则2.函数的和、差、积、商

5、的微分法则为方便表示，记（1）d(u+v)=du+dv(2)d(cu)=cdu（c为常数）(3)d(uv)=udv+vdu(4)3.复合函数的微分法则:设则复合函数的导数为而故由此可见，不论U是自变量，还是中间变量，微分形式保持不变，这一性质叫做微分形式的不变性。例1．设求dy解法一：解法二：例2.设求dy解:例3:设,求及解：例6.在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立(1)(2)解（1）因为故又因为任意常数的微分d(c)=0故(c为任意常数)（2）因为故(c为任意常数)返回五、微分在近似计算中的应用在工程问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计

6、算，往往费时费力，而利用微分则可把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替。由微分定义当很小时越小，近似程度越好。上式还可表示为令则有：特别地当当很小时可以推得：（1）（2）（3）（4）(x为弧度)（5）(x为弧度)例1）计算的近似值解：设由公式例2）计算的近似值解返回