高数I第3,4讲：极限.ppt

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1、第三，四讲极限概念内容提要：一、数列的极限二、函数的极限三、极限的性质四、无穷小与无穷大极限极限数列极限的求法函数极限的求法无穷小量与无穷大量图象法代入法公式法无穷小无穷大无穷小的性质图示法公式法无穷小的比较引例1如果，你是春天，我只能是步你后尘的秋季，当你的光彩有意在夏日的身后一片消瘦，我不想在陌生的四野漫无目的地逃逸，还是将我深深幽裹在冬风里，犹如你的忧伤，会立即在雪舞中超凡脱俗。人人要结来生缘，侬只今生结目前。一十二时不离别，郎行郎坐只随肩。返回极限的历史一尺之槌，日取其半，万世不竭。--庄子一、数列的极限例如第二讲极限概念

2、注意：2.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取1.数列实际上是自变量取整数的函数一尺之槌，日取其半，万世不竭。--庄子引例1引例2数列极限的定义数列极限的本质：数常用的数列极限公式数列极限的运算法则定理:设则:推论:例:求下列极限:解:二、函数的极限无穷远处的极限常用的极限公式思考：以上三种极限之间的关系怎样？定理：常用的极限公式二、函数的极限函数在某一点的极限的定义思考函数在某点的函数值是否影响在该点的极限值请看下面的问题：解:这个结果说明了什么？引例常用极限公式:单侧极限:左极限和右极限注:以上三种极限之间的关

3、系怎样？注:例：解:函数在x=0的左右两侧的表达式不同,故必须分别求左右极限.左右极限存在但不相等,例证三、极限的性质1.唯一性(一）数列极限的性质2.有界性3.极限的局部保号性定理(保号性)2.有界性1.唯一性（二）函数极限的性质定理(保号性)3.极限的局部保号性四、无穷小与无穷大如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）简而言之，以零为极限的函数称为无穷小无穷小无穷小与自变量的变化过程有关，如时是无穷小，但时，则不是无穷小。例如所以在时是无穷小。例如，因为所以有界函数与无穷小的乘积仍

4、是无穷小。无穷小的性质重点可用来求极限推论：（1）有限个无穷小之和仍是无穷小；（2）常数与无穷小的乘积是无穷小；（3）有限个无穷小的乘积仍是无穷小。两个无穷小的和或差，仍是无穷小。两个无穷小的积，仍是无穷小。可由后面的极限运算法则推出理解就行不要死记无穷小的性质注意：无限个无穷小的和不一定是无穷小！无穷大考察函数y=lnxyxoy=lnx注意：无穷大是指的函数，不是很大的数我们就称这样的函数为无穷大量注意：只表示函数在时是一个无穷大量，但极限并不存在。正无穷大负无穷大不定号无穷大无穷大无穷大的性质可理解为可理解为可理解为定理在自变

5、量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，则为无穷大例如：无穷小和无穷大的关系这是求极限的又一个方法！小结函数极限的统一定义