定积分的换元积分法和分部积分法.ppt

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1、第6章定积分§6.1定积分概念与性质§6.2微积分基本公式§6.3定积分的换元积分法和分部积分法§6.4定积分的应用§6.5反常积分初步目录上一页目录下一页退出§6.3定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元积分法.上一页目录下一页退出由牛顿－莱布尼茨公式知道，计算定积分的方法是求它的一个原函数.定理1设函数在区间上连续，函数满足条件：(1)当（或）时，且(2)在(或)上具有连续导数，则有（6-4）.上一页目录下一页退出公式(6-4)叫做定积分换元公式．应用换元公式时有两点值得注意：(2)求出的原函数..上一页目录下一页退出的上、下限分别代入中，然后相减就行了．例1计算解设,则,

2、且当时，当时，于是量..上一页目录下一页退出例2计算解设,则当时，当时，于是..上一页目录下一页退出例3计算解设，则；且当时，当时，于是在例3中，如果不明显地写出新变量，直接用凑微分法求解，那末定积分的上、下限就不要变更．练习：P195页：题1（3）（4）..上一页目录下一页退出例4设函数在区间上连续，试证：(1)(2)当为奇函数时，(3)当为偶函数时，证(1)由于在中，设，则..上一页目录下一页退出故(2)当是奇函数时，，因此(3)当是偶函数时，，因此利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算．..上一页目录下一页退出例5求下列定积分解由于被积函数为非奇非偶函数，由例8(1)

3、知例6试证：(为非负整数)．证设，则；当时，.上一页目录下一页退出于是有：例7设函数,求解设，则当时，时，当．于是..上一页目录下一页退出练习：P196页.题3（1）（2）.上一页目录下一页退出6.3.2定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．设函数在区间上具有连续导数，按不定积分的分部积分法，有从而得(6-5)这就是定积分的分部积分公式．.上一页目录下一页退出例8计算解例9计算解先用换元法．令，则..上一页目录下一页退出当时，；当时，于是再用分部积分法，因为因此..上一页目录下一页退出例10计算解例11计算(为正整数)解..上一页

4、目录下一页退出由此得到递推公式：而故当为偶数时：..上一页目录下一页退出当为大于1的正奇数时:由例6知与有相同的结果.例如:定积分积分方法总结作业：习题6-3题1(2)(6),题2（1）（2）题3(3)(4)