经济数学第六章不定积分.ppt

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1、第六章不定积分§6.1不定积分的概念和性质§6.2积分基本公式§6.3换元积分法§6.4分部积分法§6.1不定积分的概念和性质1、原函数原函数举例所以sinx是cosx的原函数.因为(sinx)cosx,提问：定义设f(x)是定义在某一个区间上的函数，如果存在一个函数F(x)，使得对已知区间上任意一点x都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx则称函数F(x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。cosx还有其它原函数吗？因为(sinx+C)cosx,所以sinx+C都是cosx

2、的原函数.原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI都有F(x)f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.原函数族定理如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,那么（1）对任意常数C，F(x)C都是f(x)的原函数；（2）函数f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).不定积分中各部分的名称：------称为积分号,f(x)----

3、--称为被积函数,f(x)dx------称为被积表达式,x------称为积分变量.2.不定积分若函数f(x)在某区间上存在原函数，则f(x)的所有原函数的全体称为f(x)在该区间上的不定积分,记作定义根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即例1因为sinx是cosx的原函数,所以如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例2合并上面两式,得到解如果F(x)是f(x)的一个原函数,则微分与积分的关系从不定积分的定义可知又由于F(x)是F(

4、x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线,称为积分曲线族.3.不定积分的几何意义曲线:为任意常数)在(x0,y0)的切线的斜率为f(x0)yox例4.设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解即，由题意知又曲线通过点（1，2），此曲线的方程为设所求曲线方程为：xyo1124.不定积分的性质性质1性质2性质3一、基本积分表§6.2积分基本公式例1.求解例2.求

5、解二、直接积分法例3.求解例4.求解例5例6例7例8二、第二类换元法一、第一类换元法6.3换元积分法例1例2基本思路设可导,则有第二类换元法第一类换元法一、第一类换元法则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)定理1例3例4例5常用凑微分公式例6.求解:想到公式例7.求解:例8.求解:∴原式=补充公式(1).(2).(3).(4).例9例10常用的几种配元形式:万能凑幂法例11.求解:类似例12.求解法1解法2同样可证或例13.求解:原式=例14.求解:例14.求被积函数中含有弦函数的偶次幂,利用半

6、角公式降次.例15解被积函数中含有弦函数的奇次幂,拿出一次凑微分.例16解例17.求例17.求解:∴原式=例18求解法1解法2两法结果一样例19.求解:原式=分析:思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求提示:法1法2法33.求法1法2二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求则得第二类换元积分法.难求设是单调可导函数,且具有原函数则的一个原函数。即有换元积分公式定理2证明的原函数第二换元法的步骤对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法,引入适当的代换,以去掉根号.

7、说明1.根式代换例1求解令例2求解令2.三角代换例3.求解:令则∴原式例4.求解:令则∴原式例5.求解:令则∴原式令于是例6.求解:令则∴原式例6.求又解:原式=2.倒代换分母中因子次数较高时,可试用倒代换例7.求解一:用三角代换。令（略）解二:用倒代换。令则原式当x<0时,类似可得同样结果.例8求解法1令令解法2解法3令解法4小结:1.第二类换元法常见类型:令令令令令2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令例9.求解:例10.求解:原式思考与练习1.下列积分应如何换

8、元才使积分简便?令令令2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)分部积分公式设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分,得分部积分过程这两个公式称为分部积分公式.§6.4分部积分法例1xsinxcosxC.例2ex(x22x2)C.分部积分过程：解于是例3令xt2,则dx2tdt.当被积函数为幂函数与三角函数之积时,如:要用分部积分公式.并选幂函数为即说明对某些不定积分来说,有时需用