ch03 线性方程组的数值解法-迭代法.ppt

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1、第三章线性方程组的数值解——迭代法3.4向量与矩阵的范数求解线性方程组误差是不可避免的，因：Ax=b中，A、b往往是前面的计算结果误差分析中：e=

2、x-x*

3、<ε来度量真值与近似值之间的误差？？如何估计一个向量（方程组的解向量）、矩阵的误差？？？如何估计向量、矩阵的大小、“距离”？？向量范数定义：Rn空间的向量x的范数

4、

5、·

6、

7、是一个实数，且满足非负性：齐次性：三角不等式：则称

8、

9、·

10、

11、是向量x的一个范数性质：‖x‖≠0时，‖-x‖=‖x‖｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.常见的向量范数：1-范数：2-范数：∞-范数：p-范数：

12、示例：求x=(1，2，3)T的三种范数定理：向量x，有：范数的等价：设‖·‖a和‖·‖b是Rn上任意两种范数，若存在常数C1、C2>0，使得C1‖x‖a≤‖x‖b｜≤C2‖x‖a，则称‖·‖a和‖·‖b等价。

13、

14、x

15、

16、∞≤

17、

18、x

19、

20、2≤

21、

22、x

23、

24、1≤n1/2

25、

26、x

27、

28、2≤n

29、

30、x

31、

32、∞推论：Rn上一切范数都等价向量间的距离：

33、

34、x-y

35、

36、为向量x、y间的距离，故对线性方程组的近似解x*与精确解x间的误差可用两者间的差距（距离）（即范数

37、

38、x-x*

39、

40、）进行刻画向量的收敛性：Rn中的向量序列{x(k)}，即：x(0)、x(1)、…x(k),……，其中x(k)=（x1

41、(k),x2(k)x3(k)….xn(k))T，对所有的分量xi(k)，均有：则定理：对任意一种向量范数‖·‖而言，向量序列｛x(k)｝收敛于向量x*的充要条件是由于向量的各种范数是等价的，故只要向量在一种范数下收敛，则另一种范数仍然收敛。针对不同问题可选不同范数进行讨论矩阵范数定义：对任意A∈Rnn，

42、

43、A

44、

45、表示按照一定法则确定的一个实数，且满足：非负性：齐次性：三角不等式：则称

46、

47、A

48、

49、是矩阵A的范数如：定义

50、

51、A

52、

53、=，满足上述三个条件，故也可作为矩阵的范数矩阵的算子范数：A∈Rnn,x∈Rn其中，

54、

55、A

56、

57、是所有非0向量x中，使得比值取得最大或最小上

58、界。则

59、

60、A

61、

62、为向量范数导出的矩阵算子范数算子范数满足相容性条件：‖Ax‖≤‖A‖‖x‖等价定义：所有非0且其范数为1的向量x的集合中，

63、

64、Ax

65、

66、的最大值即为矩阵的算子范数由向量范数

67、

68、·

69、

70、p，诱导出关于矩阵ARnn的范数称为矩阵的p-范数常用的矩阵算子范数（行和范数）（列和范数）（谱范数）表示的最大特征值例：求矩阵的3种范数矩阵的谱半径：对于Rn×n上的矩阵A，设其特征值为λ1,λ2,…λn，称即：特征值模的最大值为矩阵的谱半径性质：Rn×n上的矩阵A，则：ρ(λ)≤

71、

72、A

73、

74、（

75、

76、A

77、

78、为任一种范数)若矩阵A对某个算子范数满足

79、

80、A

81、

82、<1，则必有:

83、I±A可逆1)证明：证明：设λ是矩阵A的任一特征值，其对应的特征向量为x,则有Ax=λx，故

84、

85、λx

86、

87、=

88、λ

89、

90、

91、x

92、

93、=

94、

95、Ax

96、

97、≤

98、

99、A

100、

101、

102、

103、x

104、

105、所以任意

106、λ

107、≤

108、

109、A

110、

111、，故ρ(λ)≤

112、

113、A

114、

115、2）证I±A可逆，用反证法若I±A不可逆，则

116、I±A

117、=0，故方程组（I±A)x=0有非零解向量x，即存在x≠0(向量），使得：Ax=±x成立所以：

118、

119、x

120、

121、=

122、

123、Ax

124、

125、≤

126、

127、A

128、

129、

130、

131、x

132、

133、,又因为x非0向量，故

134、

135、x

136、

137、≠0所以

138、

139、A

140、

141、≥1（矛盾）3)证明：因：(I±A)(I±A)-1=(I±A)-1±A(I±A)-1=I所以：(I±A)-1=I±A(

142、I±A)-1故：

143、

144、(I±A)-1

145、

146、=

147、

148、I±A(I±A)-1

149、

150、≤

151、

152、I

153、

154、+

155、

156、A(I±A)-1

157、

158、≤1+

159、

160、A

161、

162、

163、

164、(I±A)-1

165、

166、故：3.6线性方程组的数值解的误差分析求解Ax=b时,A和b的误差对解x有何影响？常向量b有δb的扰动，bb+δb方程的近似解为x+δx即：即：近似解的相对误差是常向量相对误差的

167、

168、A

169、

170、

171、

172、A-1

173、

174、倍条件数常向量不变，而系数矩阵A有δA的扰动时:条件数结论：当

175、

176、A

177、

178、

179、

180、A-1

181、

182、较小时，方程组的常向量、系数矩阵的扰动，不会引起解向量的巨大变化，此时称该方程在是良态的反之，当

183、

184、A

185、

186、

187、

188、A-1

189、

190、较大时，b、A

191、的微小扰动，会引起解向量的巨大变化（扩大

192、

193、A

194、

195、

196、

197、A-1

198、

199、倍），则该方程组是病态的，对应当系数矩阵也是病态的条件数：矩阵A非奇异，则定义cond(A)=

200、

201、A

202、

203、

204、

205、A-1

206、

207、为该矩阵的条件数相应的几种条件数：性质：参见p963.6线性方程组的迭代解法迭代法基本原理及收敛性判断Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法松弛法1.迭代原理迭代原理：Ax=bx=Bx+f任意给定一个初始解向量x0，代入上式可得：x0x（1）…x(k)的向量序列{x(k)}，即：x（k+1)=Bx（k)+f若向量序列收敛，即：则x*为原方程组的精确解，即：Ax*=b收敛

208、性判定：充