研究生数值分析(10)迭代法.ppt

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1、如果求解线性方程组§4迭代法（其中）（1）（2）建立迭代公式（3）可参照迭代法求非线性方程近似根的方法,先将(1)转化为等价方程组1迭代法的一般形式及其收敛性然后对某个初始向量按迭代公式（3）得到一个向量序列其中如果,即成立，则由(3)有即为(2)的解，也为(1)的解。这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代方法。矩阵B称为迭代矩阵。如果迭代序列收敛，则称迭代法收敛，否则称迭代法发散。关于迭代公式(3),有如下结论定理1(充分条件判别法)如果，则1.方程组有唯一解；给定方程组收敛于，且有3.4

2、.定理中条件较强。2.对任意初始向量，迭代公式证明1.因为,根据p11定理1.5,可知矩阵I-B非奇异,其中I是单位矩阵故方程组的解存在且唯一.2.由迭代公式减去得由此得因为,所以由上式得于是有3.设m>k,则有4.设m>k,则有令m→∞,由于,故由上式得令m→∞,由于,故由上式得下面我们给出迭代法收敛的基本定理.定理2(充要条件判别法)给定方程组X=BX+f则迭代公式对任意初始向量，都收敛的充要条件为（其中，为B的矩阵范数中最小）例7用迭代法解线性方程组解：将原方程组写成如下等价方程组得迭代公式它的迭

3、代矩阵为显然迭代公式收敛。取迭代初始向量得迭代序列012…910…01.66670.8333…1.00050.9998…02.51.6667…2.00041.9997…若交换原方程中两方程的次序，得迭代公式它的迭代矩阵为显然，趋向于方程组的准确解取作为方程组得近似解，再写成如下等价方程组：事实上，仍取由迭代公式计算结果为：012345…05-525-35145…05-1020-70110…因为迭代公式发散。由这个例题可以看出，在线性方程组改写成同解方程组时，使是应用迭代法解线性方程组的关键。以下我们假设

4、方程组AX=b的系数矩阵A的主对角元介绍两种常用的迭代法。