数值分析3迭代法.ppt

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1、《数值分析》3不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度收敛加速的方法构造有效的迭代格式选取合适的迭代初值对迭代格式进行收敛性分析一种圆周率计算方案:初值:x0=1(n=1,2,3,······)迭代格式:2/16将一个计算过程反复进行称为迭代,迭代法是一类常见常用的计算技术当M=45o时,求解开普列方程:E=M+esinEe=0.1~0.2,迭代公式:Ej+1=M+esinEj(取E0=M)e迭代次数kE0.170.861264884472710.1280.877711621593350.1480.894591666439040.1690.911905667

2、403480.1890.929652331065200.290.947828223065453/16例2.2方程x3+4x2–10=0在[1,2]上有一个根,将方程变换成另一形式(1)(n=0,1,2,……)(2)(n=0,1,2,……)4/16fi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endfi=inline('sqrt(10/(4+x))');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=fi(x0

3、);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endk=16x0=1.3652k=6x0=1.36525/16x2x1x0y=xf(x)=0迭代格式:(n=0,1,2,······)迭代函数若存在x*,使得,则称x*为不动点6/16引理2.1如果,满足条件:;(2)则在[a,b]有唯一的不动点x*证若或,显然有不动点设,则有,记则有所以,存在x*,使得即,x*即为不动点.7/16定理2.4如果,满足条件:;(2)则对任意的x0∈[a,b],迭代格式产生的序列{xn}收敛到不动点x*,且有证8/16(0

4、敛速度数列的r阶收敛概念设,若存在a>0,r>0使得则称数列{xn}r阶收敛.特别:(1)收敛阶r=1时,称为线性收敛;(2)收敛阶r>1时,称为超收敛;(3)收敛阶r=2时,称为平方收敛序列的收敛阶数越高,收敛速度越快10/16例2.3方程x3+10x-20=0,取x0=1.5,证明迭代法是线性收敛证:令f(x)=x3+10x–20,绘出y=f(x)图形可知方程的根x*≈1.5,令求导数,得11/16利用Lagrange中值定理,有其中,介于xn和x*之间.所以由此可知,这一序列的收敛阶数为1,即迭代法是线性收敛.显然,在x*附近12/16定理2.6设x*是的不动

5、点,且而则p阶收敛由Taylor公式其中,介于xn和x*之间.所以故迭代法p阶收敛.13/161阶收敛的数列{xn}的加速收敛算法s1=1;s2=s1-1/3;s3=s2+1/5;y0=s3;k=3;n=5;f=1;eor=1;whileeor>0.00005y=s3-(s2-s3)^2/(s3-2*s2+s1);eor=abs(y-y0);y0=y;k=k+1;s1=s2;s2=s3;f=-f;n=n+2;s3=s3+f/n;ends=4*y例数列收敛于但速度极慢S=3.14151898559528k=1714/16数列收敛加速原理对于线性收敛数列,有于是整理化简

6、得加速收敛序列15/16迭代法的steffensen加速收敛校正再校正改进取初始值x0,对n=0,1,2,·······计算16/16