《最优化方法》复习题.doc

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1、实用文档《最优化方法》复习题一、简述题1、怎样判断一个函数是否为凸函数.(例如:判断函数是否为凸函数)2、写出几种迭代的收敛条件.3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M法及二阶段法).见书本61页(利用单纯形表求解);69页例题(利用大M法求解、二阶段法求解);4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.简述共轭梯度法的基本思想.写出Goldstein、Wolfe非精确一维线性搜索的公式。5、叙述常用优化算法的迭代公式.(1)0.618法的迭代公式:(2)Fibonacci法的迭代公式:.(3)Newton一维搜索法的迭代公式

2、:.(4)推导最速下降法用于问题的迭代公式:(5)Newton法的迭代公式:.(6)共轭方向法用于问题的迭代公式:.二、计算题双折线法练习题课本135页例3.9.1FR共轭梯度法例题:课本150页例4.3.5二次规划有效集:课本213页例6.3.2,实用文档所有留过的课后习题.三、练习题:1、设是对称矩阵,,求在任意点处的梯度和Hesse矩阵.解.2、设,其中二阶可导,,试求.解.3、证明:凸规划的任意局部最优解必是全局最优解.证明用反证法.设为凸规划问题的局部最优解,即存在的某个邻域,使.若不是全局最优解,则存在,使.由于为上的凸函

3、数,因此,有.当充分接近1时,可使,于是,矛盾.从而是全局最优解.4、已知线性规划:(1)用单纯形法求解该线性规划问题;(2)写出线性规划的对偶问题;解(1)引进变量,将给定的线性规划问题化为标准形式:实用文档所给问题的最优解为,最优值为.(2)所给问题的对偶问题为:5、用0.618法求解,要求缩短后的区间长度不超过0.2,初始区间取.解第一次迭代:取.确定最初试探点分别为,.求目标函数值:,.比较目标函数值:.比较.第二次迭代:...第三次迭代:实用文档...第四次迭代:...第五次迭代:...第六次迭代:...第七次迭代:...第

4、八次迭代:...实用文档第九次迭代:...故.6、用最速下降法求解,取,迭代两次.解 ,将写成的形式,则.第一次迭代:.第二次迭代:.7、用FR共轭梯度法求解,取,迭代两次.若给定判定是否还需进行迭代计算.解,实用文档再写成,,.第一次迭代:,令,从出发,沿进行一维搜索,即求的最优解,得.第一次迭代:.,.从出发,沿进行一维搜索,即求的最优解,得.此时.得问题的最优解为,无需再进行迭代计算.8、求解问题(方法不限定)实用文档取初始点.9、采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题:解:取第一步迭代:,,令,求得;第二步迭代:,,,

5、,令,求得。故,由于,故为最优解。10、用有效集法求解下面的二次规划问题:实用文档解:取初始可行点求解等式约束子问题得解和相应的Lagrange乘子转入第二次迭代。求解等式约束子问题得解令转入第三次迭代。求解等式约束子问题得解和相应的Lagrange乘子由于,故得所求二次规划问题的最优解为,相应的Lagrange乘子为最速下降法的优缺点:优点:方法简单,计算量较小;最速下降法为全局收敛,对初始点的要求很少。实用文档缺点:最速下降法的收敛速度与变量的尺度关系很大,对有些例子,在极小点附近产生显著的锯齿现象,收敛十分缓慢;最速下降法的最速

6、下降仅是一种局部性质,即从局部来看目标函数的值下降得最快,但从总体来看它可能走了许多弯路。牛顿法的优缺点:优点:牛顿法的收敛速度快,为二阶收敛;公式简单,计算方便。缺点:牛顿法要求f(x)二阶可微,迭代中需多次计算;牛顿法具有局部收敛性,对初始点的要求比较苛刻。共轭梯度法的优缺点:优点:计算公式简单,存储量较小,对初始点要求很少,对二次函数具有二次终止性;收敛速度介于最速下降法和牛顿法之间,对高维(n较大)的非线性函数具有较高的效率。对于二次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。缺点:共轭梯度法的收敛性依赖于精确的一维搜索,计

7、算量较大;共轭梯度法的一些理论背景至今尚不清楚,如周期性的重新开始,初始搜索放心的选取,一维搜索的精确性等,对共轭梯度法执行的影响仍有待进一步研究。拟牛顿法的优缺点:优点:拟牛顿法具有较快的收敛速度(是超线性的);对于二次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。缺点:拟牛顿法需要的存储量较大,对大型计算不便;DFP法远不如BFGS法数值稳定性好,BFGS法具有较强的数值计算稳定性。

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