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1、第五章图形变换之旋转技巧提炼1､旋转是中考压轴题中常见题型,在解这类题目时,什么时候需要构造旋转,怎么构造旋转｡下面,就不同类型的旋转问题,给出构造旋转图形的解题方法:(1)遇中点,旋180°,构造中心对称;(2)遇90°,旋90°,造垂直;(3)遇60°,旋60°,造等边;(4)遇等腰,旋顶角｡综上四点得出旋转的本质特征:等线段,共顶点,就可以有旋转｡2､图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角｡下面给出旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角之一｡如图(a)所示,若∠AOB=∠COD,必有∠AOC=∠BOD,反
2、之亦然｡如图(b)所示,若∠A=∠D,必有∠B=∠C｡(a)(b)例题精讲例1(1)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为()A､B､C､D､(2)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为_________｡例2如图所示,E､F分别是正方形ABCD的边BC､DC上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF｡例3如图所示,在△ABC的边AC,AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,连接EC交AB于点H
3、,连接BG交CE于点M,求证:BG⊥CE｡例4如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM,DM｡(1)在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形;(2)求证:AM⊥DM;(3)当α=______,AM=DM｡例5已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD｡探究下列问题:(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60∘,则CD=______;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠AC
4、B=90∘,则CD=______;(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数｡例6已知∠MAN,AC平分∠MAN｡(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,AB+AD_______AC｡(填写“>”,“<”,“=”)(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由｡⑶在图3中:①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,判断AB+AD与AC的数量关系,并说明理由②
5、若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=_______AC(用含α的三角函数表示,直接写出结果,不必证明)例7如图1所示,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA､OD到点F､E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF｡将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)｡(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明｡(2)当α=30∘时,求证:△AOE1为直角三角形｡例8(1)如图1,点E｡F分别是正方形ABCD的边BC､CD上的点,∠EAF=45∘,连接EF,则EF､BE､FD之间的数量关系
6、是:EF=BE+FD｡连结BD,交AE､AF于点M､N,且MN､BM､DN满足MN2=BM2+DN2,请证明这个等量关系;(2)在△ABC中,AB=AC,点D､E分别为BC边上的两点｡①如图2,当∠BAC=60∘,∠DAE=30∘时,BD､DE､EC应满足的等量关系是___________;②如图3,当∠BAC=α,(0∘<α<90∘),∠DAE=α时,BD､DE､EC应满足的等量关系是_____________｡牛刀小试1､如图5-11所示,△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是_________｡2､如图,已知在△ABC
7、中,AB=AC,∠BAC=90∘,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论｡3､已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5｡求:∠APB的度数4､如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2｡(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF−EF=AF;(3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF⊥DP于点F,连接AF,线段DF､EF与AF之间有怎样的数量关系
8、?直接写出你的结论｡5､请阅读下列材料:已知:如图1在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,点D､E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45度｡探究线段BD､DE､EC三
