（全国通用）2020版高考数学第三层备考篇专题二4大数学思想系统归纳第1讲函数与方程思想讲义.docx

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1、第1讲　函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解.方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数

2、关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.应用(一)　借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.[例1]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，则Sn－的最大值与最小值的积为________.[解析]　因为an＋2an＋1＝0，所以＝－，所以等比数列{an}的公比为－，因为a1＝，所以Sn＝＝1－.①当n为奇数时，Sn＝1＋，S

3、n随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤；②当n为偶数时，Sn＝1－，Sn随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn＜1，故－≤Sn－＜0.综上，Sn－的最大值与最小值分别为，－.故Sn－的最大值与最小值的积为×＝－.[答案]　－[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思

4、维的水平.[应用体验]1.已知等差数列{an}满足3a4＝7a7，a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn取得最大值时n＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，∵3a4＝7a7，∴3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，∴4a1＝－33d.∵a1>0，∴d<0，Sn＝na1＋d＝n＋d＝＝，∴n＝9时，Sn取得最大值.答案：92.(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________，的取值范围是________.解析：由余弦定理得cosB＝，∴a2＋

5、c2－b2＝2accosB.又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsinB＝×2accosB，∴tanB＝，∵B∈，∴∠B＝.又∵∠C为钝角，∴∠C＝－∠A>，∴0<∠A<.由正弦定理得＝＝＝＋·.∵0，∴>＋×＝2，即>2.答案：　(2，＋∞)应用(二)　转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问

6、题获解.[例2]　已知函数h(x)＝xlnx与函数g(x)＝kx－1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)A.　　　　　　B.C.(1，e－1]D.(1，＋∞)[解析]　令h(x)＝g(x)，得xlnx＋1＝kx，即＋lnx＝k.令函数f(x)＝lnx＋，若方程xlnx－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则函数f(x)＝lnx＋与y＝k在区间上有两个不相同的交点，f′(x)＝－，令－＝0可得x＝1，当x∈时，f′(x)＜0，函数是减函数；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，函数是增函数，函数

7、的极小值，也是最小值为f(1)＝1，而f＝－1＋e，f(e)＝1＋，又－1＋e＞1＋，所以，函数的最大值为e－1.所以关于x的方程xlnx－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则实数k的取值范围是.故选B.[答案]　B[技法领悟]发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y＝＋lnx的单调性巧妙地求出实数k的取值范围.此法也叫主元法.[应用体验]3.对于满足0≤p≤4的所有实

8、数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________.解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.函数f(p)在[0，4]上恒为正，等价于即解得x>3或x<－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4.已知函数f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x＝1处