2019_2020学年高中数学第8章简单几何体的表面积与体积课时作业28球的表面积和体积新人教A版 (2).docx

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1、课时作业28　球的表面积和体积知识点一　球的表面积　　　　　　　　　　　　　　　　　1.如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为(　　)A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶1答案　A解析　设这两个球的表面积分别为S1，S2，半径分别为r1，r2，则＝＝2＝2＝.2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.又S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，∴所得截面的面积与球的表面积

2、的比为＝.故选A.知识点二球的体积3.三个球的半径的比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的(　　)A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案　C解析　∵三个球的半径之比是1∶2∶3，∴可设三个球的半径依次为r,2r,3r，根据球的体积公式，得它们的体积分别为V1＝πr3，V2＝π(2r)3＝πr3，V3＝π(3r)3＝36πr3，∴两个较小球的体积之和为V1＋V2＝πr3＋πr3＝12πr3，由此可得，最大的球的体积与另两个球的体积之和的比为36πr3∶12πr3＝3∶1.4．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的(　　)A．2倍B．4倍C

3、．8倍D．16倍答案　C解析　设球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3.当球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为π·(2r)3＝8×πr3.故选C.知识点三与球有关的组合体问题5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．9π＋42B．36π＋18C.＋12D.＋18答案　D解析　该几何体的上部是一个半径为的球，下部是一个底面边长为3，高为2的正四棱柱，故其体积为π×3＋3×3×2＝＋18.6．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　)A.＋B.＋C.＋

4、D.＋答案　C解析　由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球(如图)，所以根据三视图中的数据可得V＝××3＋××1×1×1＝＋.故选C.知识点四球的切、接问题7.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　)A.B．4πC.D.答案　D解析　设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为π×()3＝.8．已知球与棱长均为3的三棱锥的各条棱都相切，则该球的表面积为________．答案　解析　可采用补体的方

5、法，如图，先画一个正方体，正方体的棱长为，那么正方体的面对角线长为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为正方体棱长的一半，即，这样球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝.9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解　如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则2＋r2＝R2，即h＝2.因为S＝2πrh＝4πr·＝4π≤4π＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时，取等号．所以当内接圆柱底面半径

6、为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.一、选择题1．64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　)A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙答案　C解析　64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲＝64×π3＝πa3，表面积之和为S甲＝64×4π2＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝πa3，表面积为S乙＝4πa2.所以V甲＝V乙且S甲>S乙，故选C.2．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则

7、这两个球的半径之差为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　设两个球的半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2.3．正方体的内切球与外接球的体积之比为(　　)A．1∶3B．1∶C．1∶3D．1∶2答案　C解析　设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a，外接球的半径为a，所以内切球与外接球的体积之比为＝.4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A.B．4πC．2πD.答案　D解析　因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所以半