高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积（第2课时）球的体积和表面积学案新人教A版.docx

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1、第2课时　球的体积和表面积考点学习目标核心素养球的表面积与体积记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积数学运算与球有关的组合体能解决与球有关的组合体的计算问题数学运算、直观想象问题导学预习教材P117－P119的内容，思考以下问题：1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体

2、积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　)(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√半径为3的球的体积是(　　)A．9π　　　　　　　　　B．81πC．27π　　　D．36π　　　

3、解析：选D.V＝π×33＝36π.若一个球的直径为2，则此球的表面积为(　　)A．2π　　　B．16πC．8πD．4π解析：选D．因为球的直径为2，所以球的半径为1，所以球的表面积S＝4πR2＝4π.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　)A．2倍B．2倍C.倍D.倍解析：选B．设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.答案：

4、球的表面积与体积　(1)已知球的体积是，则此球的表面积是(　　)A．12π　　　　　　　　　B．16πC.D.(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】　(1)设球的半径为R，则由已知得V＝πR3＝，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为r，故×πr3＝π，所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.【答案】　(1)B　(

5、2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．　1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．解析：设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.答案：32．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．解析：设大、小两球半径分别为R，r，则所以所以体积和为πR3＋πr3＝.答案：球的截面问题　

6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)A.cm3　　　　　　B.cm3C.cm3D.cm3【解析】　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，所以R＝5，所以V球＝π×53＝π(cm3)．【答案】　A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)

7、解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　　平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)A.πB．4πC．4πD．6π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1.所以OM＝＝.即球的半径为.所以V＝π()3＝4π.与球有关的切、接问题角度一　球的外切正方体问题　将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)A.B.C.D.【解析】　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，

8、此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.【答案】　A角度二　球的内接长方体问题　一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为____