矩形性质的应用.doc

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1、矩形性质的应用矩形具有四个角都是直角、对边相等、对角线相等等性质。因此，利用这些性质可以解决与角、线段有关的问题。例1、已知：如图，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证：△ACE是等腰三角形[分析一]欲证△ACE是等腰三角形，即证AC=EC。因AC是矩形ABCD的对角线，则AC=BD。问题转成证BD=EC。而这两条线段恰是四边形BDCE的对边，考虑证它是平行四边形。[证法一]∵BD∥EC，BE∥DC∴四边形BDCE是平行四边形∴BD=EC∵四边形A

2、BCD是矩形，∴AC=BD∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形[分析二]欲证AC=EC，需证∠CAE=∠E，因为CE∥BD，所以∠E=∠DBA，需证∠DBA=∠CAE。需证OA=OB。[证法二]∵四边形ABCD是矩形∴OA=AC，OB=BD，AC=BD∴OA=OB。∴∠CAE=∠DBA∵CE∥BD，∴∠DBA=∠E∴∠CAE=∠E，∴AC=EC即△ACE是等腰三角形[点评]对于特殊四边形的有关问题，要注意运用特殊四边形有关性质来解，这是处理这类问题的重要方法。解法往往比较简单。如证法一是利用矩形、平行

3、四边形的性质证明的。对于一些特殊四边形的有关问题，也可综合运用三角形、特殊四边形的性质来解，如证法二。例2、已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度数。[分析]∠BOE是△OBE的内角，要求∠BOE的度数，需求∠OBE、∠BEO，或找出它们与∠BOE的关系。由于题设可得∠OBE=∠ODA=∠OAD=30°，而∠BEO不易求出。因此，需找出∠BEO与∠BOE的关系。[解]∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BA

4、E∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD∴∠BAE=45°∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°∵OA=OB，△AOB是等边三角形∴BO=AB∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO∵∠ABE=90°，∠ABO=60°∴∠OBE=30°在△BOE中∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°∴∠BOE=（180°-∠OBE）=75°