于细微之处见严谨.doc

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1、于细微之处见严谨——如何培养学生思维严谨性摭谈【摘要】思维的严谨性是学好数学的关键之一.然而学生有时会想当然地去考虑问题，把问题主观化、简单化，从而使问题的思考不严谨.而这种不严谨的思维又直接影响学生的数学能力的培养，本文主要从混淆解题方向、相关的界定以及处理出了偏差、对概念的理解不准确、忽视变形的等价性、考虑不到相关细节等几个方面浅谈对学生思维严谨性的培养.【关键词】思维细节严谨性数学是一门具有高度抽象性和严密逻辑性的科学，论证的严谨性是数学的根本特征，思维的严谨性是学好数学的关键之一.然而，解题思维中的不严谨现象在学生当中常常出现.根本原因是忽视知识的细微之处，想当

2、然地去考虑问题，把问题主观化、简单化，这种不严谨的思维直接影响学生的数学能力的培养，本文从以下几个方面浅谈培养学生思维的严谨性，避免解题错误，以作警觉.一、混淆解题方向而导致错误或不能顺利求解对问题把握不够准确，解题思路混乱，解题方向不明确，从而导致出现思维不严谨的现象.例1已知且是大于0的常数，的最小值为9，则=【思路一】以为本题考查三角函数的变形或化简，想利用三角公式对函数解析式作变形，然后再求最值；【思路二】令变量=，通过换元，转化为关于的函数，从而利用导数求函数的最小值（用表示），再利用最小值为9，求得的值；【分析】这两种想法看上去似乎都很合乎逻辑，但通过探究发

3、现，第一种思路，走不下去，没有办法通过变形转化为可求最值的形式；第二种思路运算量相当复杂，并且极值点与参数有关，还需进一步对参数做讨论，一般同学是很难顺利解决的.【思路三】注意到等于常数1，所以可以考虑令，，则问题转化为：已知，的最小值为9，求的值.这样一来可以考虑利用基本不等式求解：因为==1++(当且仅当时取等号)，由=9解得.二、（范围）相关的对应、界定以及处理出了偏差而导致错误差之毫厘，谬以千里，范围的变化，对应的不准确势必导致问题的本意发生变化，从而得到错误的解答.例2【错解】最容易形成的错解是：（Ⅰ）+（Ⅲ）：（Ⅱ）+（Ⅲ）×4：.所以.【分析】这样的解法往

4、往都使的变化范围不精确（扩大）.注意先使用、表示出来，再确定其范围.正解：，令，则易得,从而，，可得三、对概念的理解不准确而导致错误概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念，概念含糊不清是思维不严谨的体现，也是解题出错的主要原因之一.例3求函数f(x)=的最小正周期.【错解】：，所以f(x)的最小正周期是T=.【分析】：不妨取x=0时，则f(x+)无意义，以上错误原因，没有考虑到原函数的定义域，误认为原函数与函数等价，实际上，由原函数得x≠kπ±，且x≠kπ±=(k∈Z)，而由函数得，x≠kπ±(k∈Z).显然变形后扩大了原函数的定义域，由图象知原函数周期T=π.四、忽

5、视变形的等价性而导致错误.利用化归思想，将复杂的陌生的问题转化为简单的熟悉的问题，这是常用的解题手段，但若不慎重，往往造成非等价的转换，出现似是而非的假象.例4：设实数b，使曲线与直线有一解、两解、无解，求b的取值范围.【错解】：将与联立方程组用代入法转化为方程，据一元二次方程有实根的充要条件解得.所以当时方程组有一解，当有两解,当时无解.【剖析】：当时直线与曲线就不会有公共点了.解题错误在于认为方程与原方程组等价，简单应用了判别式，因此便产生了错误结论.正解：由得且，因为x的取值范围受到限制故不应用“△”判别式，解决此类问题应根据图象.根据图象可知：（1）时，方程有两

6、解，曲线与直线有两个交点.（2）方程组有一解，曲线与直线有一个交点.（3）当时，方程组无解，曲线与直线没有交点.五、考虑不到相关细节而导致错误高中数学每一章中都有细节问题容易忽略，如定义域、判别式、公式成立的条件、含参数问题的讨论、问题的特殊情形等等，解题缺乏缜密思维，遗漏各种情况，不能给出问题的完整答案，以偏代全而导致思维的不严谨.例5：已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数，为非零常数.(I)令，证明数列是等比数列；(II)求数列的通项公式；对于第(Ⅰ)问,许多同学都是这样证明的:由题设条件，当时因此，数列是一个公比为的等比数列.这样求解有没有破绽？许

7、多同学找不出毛病,其实,按照等比数列的定义,应该证明与的比是一个常数,而要求"比",就要证明数列的各项均不为0这一细节,而上面的证明恰恰忽略了这一点.第(Ⅱ)问求数列的通项公式涉及到求等比数列的前项之和.而对等比数列求和,又要对公比是否为1进行分类讨论,这样一个细节,在平时教学中,老师肯定多次提醒,但是,换了一个解题环境：“求数列的通项公式”,就有不少考生忽略了分类.正解：(I)证明：由可得由数学归纳法可证由题设条件，当时因此，数列是一个公比为的等比数列.(II)解：由(I)知，当时当时而所以，当时上式对也成立.所以，数列的通项公式为当时