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1、高二数学同步辅导教材（第16讲）本章主要内容8.5抛物线及其标准方程课本第115页至第119页一、本讲主要内容1、抛物线的定义2、抛物线的标准方程3、抛物线定义的运用4、运用待定系数法求抛物线方程三、学习指导1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有：（1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴
2、是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。（2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的1/4值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个p，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。课本P.117例2是一道重要、典型的例题，同学们应仔细体会转化的思想。四、典型例题例1、互相垂直的两直线l1、l2交于点M，点
3、N∈l1，以A、B为端点的弧l上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN是锐角三角形，
4、AM
5、=，
6、AN
7、=3,
8、BN
9、=6，建立适当的坐标系，求曲线弧C的方程。解题思路分析：因弧C上任意一点到直线l2的距离与到点N距离相等，根据抛物线定义可知，AB是抛物线的一段弧，N为焦点，l2为准线。以l1为x轴，MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为y2=2px（p>0），弧C方程为y2=2px，xA≤x≤xB，直线l2：。过A作AA1⊥l2，A1为垂足，则
10、AA1
11、=
12、AN
13、=3∵
14、AM
15、=∴
16、A1M
17、=
18、即yA=∴①又
19、AA1
20、=②由①②得或因△AMN为锐角三角形，而当xA=2，p=2时，N（1，0），A在x轴上的射影在N右侧，△AMN为钝角三角形，故舍去。∵
21、BN
22、=xB+∴xB=4∴曲线弧C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）注：本题也可以以l1、l2所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，不过曲线弧C所在抛物线方程不是标准方程。例2、抛物线拱桥如图，水面宽
23、AB
24、=2a时，拱顶离水面h，一货船在水面上部分的横截面是矩形CDEG。（1）若矩形长
25、CD
26、为a，则高
27、DE
28、为何值时船才能通过；（2）求矩形面积S的临界
29、值M，使当S≤M时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当S>M时，无论怎样调整，船都不能过桥。解题思路分析：这是一个实际问题，为了精确地求出
30、DE
31、，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。（1）如图建立坐标系xOy，
32、DE
33、最大值为E在抛物线上，当船高小于
34、DE
35、最大值时，货船可以通过。由抛物线的对称性知，xD=xE=,因D到x轴距离为h，故欲求
36、ED
37、，只需求E到x轴的距离，即E点纵坐标的绝对值。设抛物线方程为x2=-2py（p>0）∵B（a，-h）在抛物线上∴a2=2ph∴2p=∴抛物线方程为x2=令x=则
38、y=∴yE=∴
39、DE
40、=h-
41、yE
42、=h-∴高
43、DE
44、≤时，船能通过（2）本小题即为求内含矩形CDEG的最大值。建立目标函数，用基本不等式求解。设E（x0，y0），则∴S=2x0(y0+h)=2x0(≤≤当且仅当2x02=a2-x02，x0=时，Smax=∴M=注：解应用型问题，首先要读懂题意，如本题“船能通过”的含义，然后在正确翻译为数学语言的基础上，建立数学模型。象本题的函数，再用相关数学知识求解。例3、抛物线P过点A（m，6），B（，m），求p的标准方程。解题思路分析：首先应确定点A、B所在象限，由此定抛物线的
45、标准方程类型。象限的区分通过点A、B的坐标符号来讨论。（1）当m>0时，A、B均在第一象限；①设p：y2=2px（P>0），则∴∴p：y2=18x②设P：x2=2py（p>0)，则∴p：（2）当m<0时，点A在第二象限，点B在第四象限，抛物线p的标准方程不存在。注：含字母问题应从分类讨论的思想着手，找到解题突破口。例4、已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，-4）到焦点F的距离为S，求抛物线的方程和a的值。解题思路分析：不妨设抛物线方程为x2=2my（m≠0）∵M在抛物线上∴m<0，准线方程y=
46、∵
47、MF
48、=5∴曲定义，M到准线的距离：∴m=-2∴抛物线方程x2=-4y令y=4，x2=16∴x=±4∴a=±4注：本题利用定义将
49、MF
50、转化为到准线的距离，降低了计算量。例5、椭圆(x-3)2+y2=9外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程。解题思路分析：设定圆圆心M（3，0），半径r=3，动圆圆心P（x，y），半径为R，则由已知得下列等式
