高二数学同步辅导教材(第2讲).doc

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1、高二数学同步辅导教材（第2讲）一、本讲进度6.2算术平均数与几何平均数二、本讲主要内容基本不等式：a，b>0时，≥的运用。三、学习指导1、本节给出的两个基本不等式为：①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；②a，b≥0时，a+b≥2（当且仅当a=b时“=”号成立）。这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤，ab≤。对不等式ab≤，还有更一般的表达式：

2、ab

3、≤。由高一学习可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项

4、，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a，b，c>0时，a+b+c≥，当且仅当a=b=c时，等号成立，……乃至n元基本不等式；当ai>0（i=1，2，…，n）时，a1+a2+…+an≥。二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，≥2，a+≥2等。当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+≤-2。基本不等式中的字母a，b可代表多项式。2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函

5、数最值的主要方法之一。在高一已学过了用单调性求函数最大值或最小值。利用二元基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。在利用基本不等

6、式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数。四、典型例题例1、已知a>1，00∴≥2=2∴logab+≤-2即logab+logba≤-2当且仅当，loga2b=1，logab=-1时，等号成立，此时ab=1。例2、已知x，

7、y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。解题思路分析：这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：y(x+y+z)+xz=2=2=2当且仅当时等号成立讲评：通过本题的证明，同学们应该知道基本不等式中的a，b不仅指数、字母

8、、单项式，还指多项式，这是数学中的整体思想的一个体现。例3、（1）已知x>1，求3x++1的最小值；（2）已知x，y为正实数，且=1，求的最大值；（3）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W的最值；（4）已知x>0，求函数f(x)=4x+的最小值；（5）已知a>b>0，求函数y=a+的最小值；（6）求函数y=x(10-x)(14-3x)（0

9、分式的位置凑出分母x-1，在3x后面施加互逆运算：±3原式=(3x-3)+3++1=3(x-1)++4≥2=4+4（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为下将x，分别看成两个因式≤∴≤（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单≤否则，这样思考：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0，W2=3x+2y+2≤=10+(3x+2y)=20∴W≤（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位

10、置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。f(x)=2x+2x+≥（5）本题思路同（1）：y=(a-b)+b+≥（6）配x项前面系数为4，使得与后