教案1-矩阵.doc

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1、第一章教学内容：（总计课时：9学时）：l矩阵的概念　　（2学时）Ø矩阵的定义、性质；Ø矩阵的相等；Ø几种特殊矩阵。l矩阵的运算　　（2学时）Ø矩阵的加减法、数乘；Ø矩阵的乘法；Ø矩阵的转置；Ø方阵的幂。l矩阵的初等变换　　（3学时）Ø矩阵的初等行变换；Ø阶梯矩阵Ø简化阶梯矩阵。l矩阵的秩　　（1学时）Ø矩阵的秩；Ø矩阵的秩的求法。l逆矩阵　　（2学时）Ø逆矩阵概念；Ø求逆矩阵。27第一章矩阵第一章矩阵§1.1矩阵的概念矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用。在本课程中，矩阵是研究线性变

2、换、线性方程组求解的有力且不可替代的工具,在线性代数中具有重要地位。矩阵的引入：我们平时常用列表的方式表示一些数据及其数据间的关系。比如：学生成绩表、工资表、产品产量表等等，为了处理方便可以将它们按照一定的顺序组成一个矩阵数表如下。例1：某企业月份、产品、产量与数表的关系：某生产部门生产甲，乙，丙，丁四种产品，1～3月份生产数量如下表（单位：吨）产量月份产品甲乙丙丁一50302510二30602520三5070025我们把表中的数据按照原来的位置排列出来，就把产量表简写成一个“矩形数表”的形式：…………这就是矩阵。27第一章矩阵一、矩阵的概念1、矩阵的定义定义1.

3、1：设有个数排成行列的矩形阵表，元素记做如下形式：行标列标称为一个矩阵。其中：——称为第行第列元素。通常用大写字母表示矩阵。为表明矩阵的行数和列数，矩阵也可简记为：或2、几点说明①若，，且，则称两矩阵同型；②若，，且，则称两矩阵相等。举例：两矩阵同型两矩阵相等27第一章矩阵一、几种特殊矩阵1、零矩阵——个元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作：或注意：不同的零矩阵未必相等的！2、行矩阵——只有一行的矩阵，称为行矩阵，记作：3、列矩阵——只有一列的矩阵，称为列矩阵，记作：4、方阵——行数和列数都等于的矩阵，称为阶矩阵或阶方阵，记作：主对角线说明：其中元素称为阶方阵的主对

4、角元素，过元素的直线称为阶方阵的主对角线。5、单位矩阵——主对角线上的所有元素全为1，其余元素全为零的阶方阵称为阶单位矩阵，即：，且：记作：，简记：全为127第一章矩阵§1.2矩阵的运算一、矩阵的线性运算1、矩阵的加、减法定义1.2：设有两个矩阵，，，将它们的对应位置的元素相加，所得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记作：，注意：只有同型矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足的运算律：⑴(交换律);⑵(结合律);⑶;⑷;⑸(减法)。27第一章矩阵例1已知：，，求：；问：有意义么？解：无意义！（不同型）例2：已知：，求：的值。解：由已知条件，有：则：解得：例3：设，，求

5、满足的矩阵解：把等式两边同时减矩阵，得：1、数乘矩阵定义1.3：用数乘矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数与矩阵的积，记作：注意：数乘矩阵是数去乘中的每一个元素。27第一章矩阵数乘矩阵满足的运算律⑴;⑵;⑶;⑷；⑸；。例4：已知，求：，。解：；。例5：已知，，若矩阵满足关系式，求：。解：由关系式得：说明：以上矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算。27第一章矩阵一、矩阵的乘法(重点)1、矩阵的乘法定义1.4：设矩阵，矩阵，即：，，则定义与的乘积是一个的矩阵，记作：其中，（等于左的第行的所有元素与右的第列的对应元素乘积的和。）2、几点说明①相乘条件：左矩阵Ａ的列数等

6、于右矩阵Ｂ的行数；②相乘方法：——乘积矩阵的元素等于左Ａ的第行与右Ｂ的第列的对应元素乘积的和）；③相乘结果：——乘积C矩阵的行列数，分别取自左Ａ的行数，右B的列数。例6：已知，，求：，。解：同理：此例说明：①；　②,，但。27第一章矩阵即:两个非零矩阵的乘积可能等于零矩阵！（此不同于数字乘积的规律）例7：已知，，求：，。解：无法计算！因为矩阵的列数为2，矩阵的行数为3，所以不符合矩阵乘法的条件，故不存在。此例说明：两个矩阵，若存在，也不一定存在。例8：设矩阵，，，求：，。解：此例说明：，一般也不能导出：（不满足消去律！）例9：设矩阵，验证：证：一般地，对任意矩阵，

7、只要有意义，一定有：（由此可见，单位矩阵起着数“1”的作用！）27第一章矩阵1、矩阵乘法满足的运算律⑴结合律:;⑵分配律:;⑶对任意常数,有:⑷(矩阵起到数“0”的作用)；⑸(矩阵起到数“1”的作用)。2、矩阵乘法的三大特征⑴无交换律即：;⑵无消去律即：⑶若或。学生自练1：已知：，，求：，。解：；此例看出：与矩阵的乘积为一阶方阵，即一个数；而与矩阵的乘积是一个阶方阵。学生自练2：已知，求：的值。解：由题意得：27第一章矩阵即：。一、方阵的幂1、定义定义1.5：设是阶方阵，（为自然数），则个连乘所得到的积仍是阶方阵，称为方阵的次幂，记作：。即：规定：说明：①只有方阵

8、才有幂运算