2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

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1、2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛（含详细答案）一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程的实数解的个数为（　　）A．0B．1C．2D．大于22．正2007边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（　　）A．0B．1C．大于１D．与分割的方法有关3．已知关于参数（）的二次函数（）的最小值是关于的函数，则的最小值为（　　）A．－2B．C．D．以上结果都不对4．已知为正整数，，实数满足，若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（　　）A．1B．3C．5D．75．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数

2、，则满足的构成的区间的长度之和为（　　）A．1B．C．D．26．过四面体的顶点作半径为1的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切．若，，，则四面体的外接球的半径为（　　）A．2B．C．3D．二、填空题（每小题9分，共54分）7．若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为______________．8．方程的所有正整数解为_____________．9．若是边长为1的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，，若，则满足条件的点有两个，分别设，则之间的距离为_______________．10．方程的不同非零整数解的个数为____

3、_________．11．设集合，，其中是五个不同的正整数，，，，若中所有元素的和为246，则满足条件的集合的个数为_____________．12．在平面直角坐标系中定义两点，之间的交通距离为．若到点，的交通距离相等，其中实数满足，，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为________．三、论述题（每小题20分，共60分）13．已知的外心为，，为的外接圆上且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与，交于点，分别与或其延长线交于点，求证三点共线．14．已知数列（）满足，，对于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数．15．排成一排的１０名学生生日的月份均不相同，

4、有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少），每名教师尽可能多选学生．对于学生所有可能的排序，求的最小值．参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程的实数解的个数为（）。大于答选。设，则，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式，无解，所以选。2．正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（）。大于与分割的方法有关答选。只有包含正边形中心的三

5、角形是锐角三角形，所以只有一个，选。3．已知关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，则的最小值为（）。以上结果都不对答选。当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。4．已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为（）。。答选。因为，所以，于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。5．定义区间的长度均为，其中。已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（）。答选。原不等式等价于。当或时，原不等式等价于。设，则。设的两个根分别为，则满足的构成的区间为，区间的长度为。当时，同理

6、可得满足的构成的区间为，区间的长度为。由韦达定理，，所以满足条件的构成的区间的长度之和为，所以选。6．过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为（）。答选。过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，则，且有。由于，则，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。二、填空题（每小题9分，共54分）7．若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为。答。因为的整数解为，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了唯一

7、的有序数对，所以有序数对的数目为。8．方程的所有正整数解为。答。因为，所以。设，类似的可得。设，则原方程化为，，即。因为，所以。又因为，所以为偶数，于是，经验证，，所以。或由，得，又因为为奇数，所以经验证。9．若是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离为。答。设，由余弦定理得。一方面，，另一方面，，解得。同理可得。从而有。当时，有最大值，且最大值为，所以。由于，所以。设两个根分别为，则。10．方程的不同非零整数解的个数为。答。利用，原方程等价于。方程两端同除，整理后得。再同除，得。即，从而有。经

8、验证均是原方程的根，所以原方程共有个整数根。11．设集合，其中是五个不同的正整数