高一第一学期集合典型例题.doc

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1、高一第一学期集合典型例题：1.解不等式：解:设，即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，此不等式的解在图象上就是抛物线位于直线上方的部分，故不等式的解集是。2.已知，则的最小值是_________。如果将看成是两点之间的距离，那么我们头脑里就立即造出一个几何模型来。(x,y)和(1,1)两点之间的距离。点(1,1)到直线的距离即为满足题目条件的最小值。3.若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）＞0，则a的取值范围是（）．-1OxyA．（0，）B．（0，C．（，+∞）D．（

2、0，+∞）分析数形结合．由在（－1，0）内f（x）＞0可知函数f（x）=log2a（x+1）在（－1，0）内的图象位于x轴上方，且x→0时，f（x）→0（如图所示）．所以底数2a应满足0＜2a＜1，得0＜a＜，选A．评注解题时应善于将f（x）＞0加以转化，由式想形．本题还可进一步考查函数在（－1，0）内的单调性．4.设函数f（x）=xsinx（x∈R）．（1）证明f（x+2kp）－f（x）=2kxsinx，其中为k为整数；（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明．证明（1）由函数f（x）的定义，对任意整数，有f（x+2kp）－f（x）=（x+2kp）sin（x+2kx）－xsinx=（x+2k

3、p）sinx－xsinx=2kpsinx．（2）函数f（x）在定义域R上可导，f′（x）=xcosx+sinx．①令f′（x）=0，得sinx=－xcosx．若cosx=0，则sinx=－xcosx=0，这与cos2x+sin2x=1矛盾，所以cosx≠0．当cosx≠0时，f′（x）=0Ûx=－tanx．②由于函数y=－x的图象和函数y=tanx的图象知，f′（x）=0有解，f（x）的极值点x0一定满足tanx0=－x0．当f′（x0）=0时，．5.设二次方程：x²-px+15=0，x²-5x+q=0的解集分别为A,B，且A∪B={2.3.5}，A∩B={3}.试求A`B及p、q的值。解：解

4、：∵A∩B={3}∴3是两个方程的公共跟，分别代入其方程得{.........}得p=8q=6∴原方程分别为x²-8x+15=0及x²-5x+6=0设他们的另一根分别为α和β，由一元二次方程的根系关系得3α=153β=6α=5β=2∴A={3，5}B={2，3}6.函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数。若a＜0时，无解．∴a的取值范围是0≤a≤1．7.利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证  取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．解：

5、定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2． 8.定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x

6、∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．解：当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以f(2a-x1)＜f(2a-x2)注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．同理f(2a-x2)=f(x2)．所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．9.已知函数y=sin2x+cos2x-2.(1)用“五点

7、法”作出函数在一个周期内的图象.(2)求这个函数的周期和单调区间.(3)求函数图象的对称轴方程.(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2(1)列表x02-20-2-4-2其图象如图示(2)=π.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，知函数的单调增区间为［-π+kπ,+kπ］,k∈Z.由+2kπ≤2x+≤π+2kπ，知函数的单调减