利用旋转巧解几何题.doc

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1、利用旋转巧解几何题旋转，在初二来说并不是常规的数学解题方法。但是在几何证明题中，有时单纯地用各种定理难以解决，而要做辅助线也无从下手，此时，巧借旋转，往往会使难题迎刃而解。用这样非常规的思想看问题，常常会寻得非常规的解题途径，快捷、巧妙、通俗易懂，是我们在初中学习中必不可少的。旋转是对已知条件的再利用，将条件润色后为我所用。旋转需要较强的抽象思维能力，否则会把人“转晕”；但理清思路后，这就成了一种出奇制胜的法宝。一、旋转在三角形中的运用例１、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点，求证：2PA²=PB²+PC²常规解法，需要用勾

2、股定理不断推导，稍显复杂。解法一：如图（1），作AD⊥BC于D，可证AD=BD=CD。∵PA²=AD²+PD²∴2PA²=2AD²+2PD²PB²=(BD+DP)²=BD²+2DP•BD+PD²PC²=(CD-PD)²=CD²-2CD•PD+PD²∵AD=BD=CD∴PB²+PC²=2AD²+2PD²=2AP²这种解法，往往使人在推导过程中像盲人一样摸索；但如果巧借旋转，思路将清晰得多。解法二：如图，将△APC绕点A顺时针旋转90°，则AC边与AB边重合，设旋转后点P的对应点为点O。此时，方法就很明显了：连接OP，由旋转可知∠ABO=∠ACP∵∠ABC+

3、∠C=90°∴∠ABC+∠ABO=90°即∠PBO=90°,由勾股定理得，BP²+PC²=BP²+OB²=OP²又由旋转可知，∠OAP=∠BAC=90°，OA=AP，OP²=AP²+OA²=2AP²∴BP²+PC²=AP²旋转之妙，无需多谈。有另外一种题型，与等腰直角三角形有关，它曾令我许久摸不着头脑，但用旋转求解就让人豁然开朗。下面让我来分享一下。例2、P为等腰直角△ABC中一点，AC=AB，AP=1，PC=√7,PB=3,求∠APC.这道题只知道三条线段的长，似乎与角度无关。此时就要考虑构造出三角形，使这三条已知线段尽可能组合到同一三角形中。而有了A

4、C=AB,就可以通过旋转将PA、PB、PC直接或间接地组合在一起。解：将△APC绕点A顺时针旋转90°得△AOB，连接OP。由旋转可知，OA=AP=1，OB=PC=，∠OAP=∠BAC=90°∴△OAP为等腰直角三角形∴OP=，OA=×1=∠AOP=45°此时，OP²+OB²=()²+()²=3²=BP²∴△BOP为直角三角形，∠BOP=90°∴∠APC=∠AOB=∠AOP+∠BOP=45°+90°=135°∴∠APC为135°。对于有关全等三角形的问题，尤其是正方形与三角形相结合的题目，旋转对于巧妙构造全等三角形帮助很大。正方形的边与角的特殊性，往往是

5、解题的入手点。二、旋转在正方形中的运用例3、如图，在正方形ABCD中，边长为1，E、F分别是边BC、CD上的点，且△CEF的周长是2，求∠EAF的大小。正方形四边相等且四个角均为90°，这为旋转准备了条件。∠EAF无法直接求得，但可以求出BE+DF=EF,因此，旋转△ABE，问题即可迎刃而解。解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后点E的对应点为点G。∵∠B=∠ADC=90°∴∠ADG+∠ADC=∠B+∠ADC=90°+90°=180°∴C、F、D、G在同一直线上由题意可知，BC+CD=1+1=2，CE+CF+EF=2∴CE+

6、CF+BE+DF=CE+CF+EF,∴BE+DF=EF由旋转得，AE=AG,DG=BE∴FG=DF+DG=DF+BE=EF∴△AEF≌△AGF（SSS)∴∠EAF=∠FAG∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠BAE=90°∴∠EAF=∠EAG=×90°=45°∴∠EAF为45°巧思妙解，无处不在。而旋转是巧思妙解的常见形式之一，它的存在，使数学世界增色不少。善于运用旋转，对我们的学习大有裨益。几何的魅力在旋转间充分体现。