5-1 向量内积,长度及正交性.ppt

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1、二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特征向量方阵对角化的充要条件对称方阵对角化二次型化标准形第五章二次型本节重点二次型及标准形定义和矩阵表示规范正交基概念Schimidt规范正交化方法正交矩阵的概念、性质正交变换的概念和优点§1二次型定义及矩阵表示n个变量x1,x2,……,xn的f(x1,x2,……,xn)=称为二次型.二次齐次函数定义1f(x1,x2,……,xn)=二次型的矩阵(1)A称为二次型f的矩阵，A为实对称矩阵；(2)二次型f与实对称矩阵A一一对应。注:于是二次型的矩阵表示为f(y1,y2,……,yn)=为标准形.定义2称其

2、矩阵为f(x1,x2,……,xn)=寻找可逆的线性变换保形状不变本章中心：记作使二次型转换为标准形。§2正交向量组一.几个概念定义1设有n维向量为向量x与y的内积.称性质：定义2非负实数称为n维向量性质：的长度（范数）.称为向量的夹角.定义3长为1的向量称为单位向量.若向量定义5正交向量组:一组两两正交的非零向量.定义4如果，那么称向量x与y正交.则满足定理1正交向量组必线性无关.证明：二.规范正交化但不为正交向量组.定义6规范正交基:向量空间中由单位向量构成的两两正交的一个基.定理2基e1,e2,……,er为规范正交基当且仅当定理3设是

3、向量空间V的一个基，与之等价.则必有规范正交基比如：若线性无关，则是的一个基，与之等价的规范正交基存在不唯一。Schimidt的做法：Schimidt规范正交化过程：正交化：单位化：与等价.例5解再把它们单位化，取例6解把基础解系正交化，即合所求．亦即取定义7如果n阶矩阵A满足ATA=E,那么称A都是正交矩阵.例7为正交矩阵.正交矩阵的性质若A为正交阵，则只能是1或者-1；（4）n阶矩阵A为正交矩阵A的列（行）向量组是规范正交向量组.证明例8判别下列矩阵是否为正交阵．解所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵．由

4、于定义8若P为正交矩阵，则线性变换x=Py都为正交变换.称为正交变换.例9若线性变换x=Py为正交变换，a,b为任意保持两向量内积不变;保持向量的长度不变(保距性);保持向量的夹角不变(保角性);把规范正交基仍变为规范正交基.两个向量,那么正交变换性质—优点正交变换具有下列性质:内容小结第五章相似矩阵及二次型1、向量的内积2、内积的性质3、向量的长度与夹角第五章相似矩阵及二次型4、向量的正交5、规范正交基及其求法施密特正交化方法：是一组基