§1向量的内积-长度及正交性.ppt

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1、§1向量的内积、长度及正交性主要内容：一、向量内积的定义及其性质二、向量的长度及其性质三、正交向量组的定义及其性质四、正交向量组的求解五、正交矩阵的定义及其性质六、正交变换的定义§1向量的内积、长度及正交性定义:设有n维向量x1y1xyx2,y2,xynn令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn]=xTy,[x,y]称为向量x与y的内积.§1向量的内积、长度及正交性例1235x,y,2180[x,y]12352180

2、19§1向量的内积、长度及正交性内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数):(ⅰ)[x,y]=[y,x];(ⅱ)[λx,y]=λ[x,y];(ⅲ)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(ⅳ)当x=o,[x,x]=0;当x≠o,[x,x]>0.§1向量的内积、长度及正交性定义:施瓦茨(Schwarz)不等式[x,y]2≤[x,x][y,y].定义:令‖x‖222x,xx1x2xn‖x‖称为n维向量x的长度(或范数).定义:当‖x‖=1时,称x为单位向量.§1向量的内积、长度及正交性例13x,28

3、222xx,xx1x2xn2222132878§1向量的内积、长度及正交性向量的长度具有下述性质:(ⅰ)非负性当x≠o时‖x‖>0,当x=o时,‖x‖=0;(ⅱ)齐次性‖λx‖=

4、λ

5、‖x‖;(ⅲ)三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.§1向量的内积、长度及正交性定义:当x≠0,y≠0时,x,yarccosxy称为n维向量x与y的夹角.定义:当[x,y]=0时,称向量x与y正交.§1向量的内积、长度及正交性12例35

6、x,y,2180x,yarccosxy12352180arccos222222221328251019arccos665§1向量的内积、长度及正交性说明:当x=o时,x与任何向量都正交.定义:所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量.定理若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,ar线性无关.§1向量的内积、长度及正交性例已知三维向量空间中两个向量11a1,a21211正交,试求一个非零向量a3,使

7、a1,a2,a3两两正交.解x1T111aA1,设a3x2,记Ta121x23§1向量的内积、长度及正交性x11110x,12120x3111r101AB121010xx013B所对应的方程组为,x0211解得基础解系0,取a0即合所求.311§1向量的内积、长度及正交性定义:设n维向量e1,e2,…,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,…,er两两正交,且都是单位向量,则

8、称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基.121200例001212e,e,e,e.1020312412001212就是R4的一个规范正交基.§1向量的内积、长度及正交性定义:设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,…,er,使e1,e2,…,er与a1,a2,…,ar等价.这样的问题称为把a1,a2,…,ar这个基规范正交化.§1向量的内积、长度及正交性把a1,a2,…,ar这个基

9、规范正交化的方法ba;11b1,a2bab;221b1,b1[b,a][b,a][b,a]1r2rr1rbabbbrr12r1[b,b][b,b][b,b]1122r1r1容易验证b1,b2,…,br两两正交,且b1,b2,…,br与a1,a2,…,ar等价.§1向量的内积、长度及正交性定义:从线性无关向量组a1,a2,…,ar导出正交向量组b1,b2,…,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.说明:(1)b1,b2,…,br与a1,a2,