§5.2 用留数定理计算实积分.ppt

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1、引言§5.2用留数定理计算实积分在实际问题中，往往会遇到求一些实积分的值，计算比较复杂。但是，如果把它们化为复变函数的积分，运用留数定理计算可能要简捷的多。首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。其次，定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线的积分。一、形如的积分被积函数是的有理函数，上连续，且在令，那末，当从时，周的积分：沿圆周的正向绕行一周，于是，所设积分化为沿正向单位圆其中为的有理函数，且在圆周上无奇点，为设在单位圆周内的奇点，则由留数定理，得例2.1计算积分解则令,当从0到时

2、，沿正向圆周绕行一周，因此，而函数在复平面上有两个奇点：其中只有二级极点在的内部，由留数定理，得计算积分先将积分区间变为再利用留数定理，计算如下：解然后令则例2.2令则由此得其中相异实根，由根与系数的关系：及为实系数二次方程的两个函数的奇点在的内部，由留数定理，得例3解求其中是的根，且二、形如的积分其中为一有理函数，为多项式，方程没有实根，即的次数至少要高两次。在实轴上没有孤立奇点，且的次数比则设c为圆周的上半圆周，函数在c上连续，且证令则因为所以对任给,当充分大时，有引理1于是即■对于上述类型的积分有如下计

3、算公式这里f(z)满足：f(z)无实奇点，奇点，且在上半平面内只有有限多个利用以上公式计算积分时通常有两个步骤：（1）判断是否是上述类型a．积分限是否从到？能否化得？奇点？b．在上半平面是否只有有限个孤立在实轴上是否无奇点？c．等式是否成立？在上半平面奇点处的留数，（2）计算然后代入上述公式就得结果。显然结果必然是实数，如果是复数，说明计算有误。计算积分例2.3解第(1)步，显然这是型积分，因为a．积分限是从到b．并且在实轴上无奇点；可见在上半平面只有一个二级极点，c．第(2)步，留数计算在上半平面奇点处的所

4、以，例2.4计算积分解由于被积函数是的偶函数，所以有这样积分限化成了从到进一步验证符合以上积分类型.扩充到复数后可写成可见在上半平面只有一个三级极点所以三、形如的积分其中为多项式，的次数比的次数高，实根，且方程没有即f(z)在实轴上没有奇点，为正实数。计算此类积分的方法类似于第二类积分。引理2函数设c为圆周的上半圆周，在c上连续，且则(证略)对于上述类型的积分有如下计算公式（2.2）取上半圆周事实上，由实线段及组成一条封闭曲线c，平面内的一切孤立奇点取充分大的R，使c所围区域包含在上半数定理，因此由留有即（2

5、.3）因为的次数比次数高，即且所以由引理2，得在（2.3）中，令两端取极限，即得另外，由于所以于是要计算积分或只要求出积分的实部或虚部即可。即当时，（2.4）（2.5）计算积分例2.5解令就可写成,这样被积函数相应于积分限从到并且显然有是上述类型的积分，所以该积分可利用公式（2.5）计算。可写成如下形式由此可见，在上半平面有两个单极点与在这两点的留数分别为将所得留数代入（2.5）式得：例2.6计算积分解令这样被积函数就可形式，写成由于被积函数是偶函数，所以有积分限化为从到又显然于是积分属于上述类型，可由（2.

6、4）式计算可写成易见，在上半平面只有一个二级极点计算在点的留数将这个留数代入（2.4）式得：