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1、第三章 离散付里叶变换(DFT) DiscreteFourierTransform第一节 引言一、序列分类对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为：无限长序列：n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~0有限长序列：0≤n≤N-1有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。二、DFT引入由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT
2、在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。三、本章主要讨论离散付里叶变换的推导离散付里叶变换的有关性质离散付里叶变换逼近连续时间信号的问题序列的抽取与插值第二节 付里叶变换的几种形式一、引言傅里叶变换：建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系.所以“时间”或“频率”取连续还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前,先概述四种不同形式的傅里叶变换对二、四种不同付里叶变换对1、傅里叶级数(FS)：连续时间,离散频率的傅里叶变换。2、傅里叶变换(FT)：连续时间,连续频率的傅里叶变换。3、序列的傅里叶变换(DT
3、FT):离散时间,连续频率的傅里叶变换.4、离散傅里叶变换(DFT):离散时间,离散频率的傅里叶变换假定数字频率为w,模拟频率为。1.傅里叶级数(FS)周期连续时间信号非周期离散频谱密度函数。周期为T0的周期性连续时间函数x(t)可展成傅里叶级数X(jkΩ0),是离散非周期性频谱,表示为:FS正变换：反变换：例子通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应.(频域采样，时域周期延拓)2.傅里叶变换(FT)非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。正变换：反变换：例子以下变换对可以看出时域连续函
4、数造成频域是非周期的谱,而是时域的非周期造成频域是连续的谱.3.序列的傅里叶变换(DTFT)非周期离散的时间信号(单位圆上的Z变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。正变换：其中w是数字频率，它和模拟角频率的关系为w=T反变换：例子同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续.4.离散傅里叶变换(DFT)上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的.因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.周期性离散时间信号从上可以推断：周期性时间信号可以产生频
5、谱是离散的离散时间信号可以产生频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。其中正变换：反变换：二、四种付里叶变换形式的归纳第三节 离散付里叶级数(DFS)我们先从周期性序列的离散傅里叶级数(DFS)开始讨论,然后在讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT).一、引言二、DFS定义设为周期为N的周期序列,则其离散傅里叶级数(DFS)变换对为:正变换反变换其中:三、DFS离散付里级数的推导意义用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理
6、有实用价值。但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS.1.由非周期连续时间信号推出DFSx(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS.x(t)t取样x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采样wX(ejw)2.周期性连续时间信号函数周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。x(t)X(ejw)tw采样x(n)nDFS3.非周期离散时间信号非周期离散时间信号经过序列付里时变换(即单位园上的Z变
7、换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采样四、推导DFS正变换以下由第三种付里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。非周期信号x(n),其DTFT(单位园上Z变换)为其为周期连续频谱密度函数，对其频域进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为即得出DFS的正变换：得到各抽样频点频率为：代入DTF
