常见的二次曲面.ppt

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1、提问：已知曲线和旋转轴如何求旋转曲面的方程？将xOz坐标面上的旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．球面的方程：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．第八节常见的二次曲面截痕法:(已知曲面方程判断曲面形状）冷却塔（上）中关村金融中心（下）双曲面连接器1、椭球面所确定的曲面称为椭球面.方程用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截痕为椭圆当h=±c时，截痕为，即截痕缩为一点.当

2、h

3、>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面z=

4、h

5、

6、(

7、h

8、>c)不相交.因此椭球面介于的范围内.同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆用平行于Oxz面的平面y=h截所给曲面，截痕为椭圆当h=±b时，截痕缩为一点：当

9、h

10、>b时，无截痕.因此，椭球面介于.用Oyz面截所给曲面的截痕为椭圆用平行于Oyz面的平面x=h截所给曲面，截痕为椭圆当h=±a时，截痕缩为一点：当

11、h

12、>a时，无截痕.因此，椭球面介于.椭球面的特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.球面方程可写为2、双曲面:（1）单页双曲面讨论该方程所表示的曲面形状？用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截痕为椭圆不论z

13、=h为何值总有截痕曲线存在，且当

14、h

15、越大时，截痕椭圆的长、短轴越大.用Oyz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线用平行于Oyz坐标面的平面x=h截所给曲面，得截痕为当

16、h

17、

18、h

19、>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，虚轴平行于y轴.当

20、h

21、=a时，截痕为两条直线用Oxz坐标面截所给曲面的截痕也为双曲线，其方程为用y=h的平面截所给曲面的截痕为：当

22、h

23、

24、h

25、>b时,截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，虚轴平行于x轴；当

26、h

27、=b时，截痕为两条直线.（2）双叶双

28、曲面：用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线xyoz无图形.用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为xyoz当

29、h

30、>a时，其图形为椭圆，半轴分别为和；当

31、h

32、

33、h

34、=a时，截痕为一个点；常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.可见所给图形介于的范围内，因此图形为两支.用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线xyozOxyz3、椭圆锥面:4、抛物面:（p、q同号）5、双曲抛物面（马鞍面

35、）:用截痕法讨论图形如下：yzxo说明下列方程表示什么图形？