数理统计的基本概念.ppt

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1、第六章数理统计的基本概念由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的估计和推断。现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。参数估计:根据数

2、据，对分布中的未知参数进行估计；假设检验:根据数据，对分布的未知参数的某种假设进行检验。参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。§6.1总体与样本6.1.1总体与样本在数理统计中，我们往往关心所研究对象的某项数量指标（比如灯泡的使用寿命,学生的身高等）.把研究对象的某项数量指标值的全体称为总体，每个研究对象的数量指标值称为个体。总体中的个体数目称为总体容量。1.总体与个体在研究2000名学生的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体.实例1某工厂10月份生产的灯泡寿命

3、所组成的总体中,个体的总数就是10月份生产的灯泡数,这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.2.有限总体和无限总体实例2当有限总体包含的个体的总数很大时,可近似地将它看成是无限总体.3.总体分布在2000名大学一年级学生的年龄中,年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”的依次有9，21，132，1207，588，43名,它们在总体中所占比率依次为实例3即学生年龄的取值有一定的分布.一般地,我们所研究的总体,即研究对象的某项数量指标X,其取值在

4、客观上有一定的分布,X是一个随机变量.如实例3中,总体就是数集{15,16,17,18,19,20}.总体分布为:即总体就是一个随机变量，总体的分布就是随机变量的分布.4.样本在实际问题中，总体的分布一般是未知的，或分布形式已知，却含有未知参数（比如服从P（），未知).我们往往从总体中抽出部分个体，根据获得的数据对总体的分布进行推断.被抽出的部分个体称为总体的一个样本.所谓从总体中抽出一个个体，就是对总体X进行一次观察，并其记录结果.在相同的条件下对总体X进行n次重复独立观察，其结果显然，都是随机变量，而且它们相互独立，与总体X同分布

5、.与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量为来自总体X的容量为n的简单随机定义1：若随机变量相互独立且都样本，简称样本．注意：样本的二重性。样本X1,X2,…,Xn可以被看作n维随机向量,自然需要研究其联合分布。6.1.2样本的分布假设总体X具有概率密度函数f(x)，因样本X1,X2,…,Xn独立同分布于X，于是，样本的联合概率密度函数为：若总体X是离散型的，其分布律为：则样本的联合分布为由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“加工”，构造出若干个样本的已知(确定)的函数，其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来。6.2.1统计量

6、的概念这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本所决定的量。§6.2抽样分布是样本的函数，如果中不包含任何未知参数，则称它定义2：设是来自总体X的样本，是一个统计量。定义３：几个常用的统计量样本均值样本方差反映总体均值的信息反映总体方差的信息样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩k=1,2,…反映总体k阶中心矩的信息反映总体k阶矩的信息它们的观察值分别为…定理1：设来自总体X的样本，则若总体X的k阶矩存在，由大数定律可以得到：定理2：设X1,X2,,Xn是来自均值为,方差为2的正态总体的样本，则有统计量的分布称为抽样

7、分布，下面介绍来自正态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三大分布：分布，t分布和F分布.6.2.2χ2分布定义4:设X1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1),的样本，则称统计量服从自由度为n的卡方分布，记为：注意：若X1,X2,…,Xn是来自正态总体的样本，则随机变量的概率密度为：分布概率密度曲线分布的性质：定理3：证明略.t分布的概率密度为为服从自由度n的t分布，记为T～t(n)。6.2.3t分布定义5:设X～N(0,1),Y～χ2(n),且X与Y相互独立，则称随机变量t分布的概率密度图形当n充分大时，f(x;n)趋近于标准正态

8、分布的概率密度。定理4：6.2.4F分布且U与V相互独立，则称F=(U/m)/(V/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布。记成F~F(m,n)。定义6：设其概率密度函数为F分布的性质