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1、第六章数理统计学的基本概念引例：某公司要采购一批产品，每件产品不是合格品就是不合格品，但该批产品总有一个不合格品率p，由此，若从该产品中随机抽取一件，用X表示这一件产品的不合格数，不难看出X服从一个二点分布b(1,p)，但分布中的参数p却是不知道的。显然，p的大小决定了该批产品的质量，它直接影响采购行为的经济效益。因此，人们会对p提出一些问题，比如：（1）p的大小如何；（2）p大概落在什么范围内；（3）能否认为p满足设定的要求（如p≤0.05）。引例中研究的问题属于统计学的范畴。统计学是一门应用性非常强的学科，它的历史已有三百多年，即使从皮尔逊（K.Pearson
2、，1857-1936）和费舍尔（R.A.Fisher，1890-1962）的工作算起，统计学的发展也已有一百多年的历史，并且取得了良好的社会和经济效益。一般认为，统计学是一门研究如何运用有效的方法去收集、整理和分析带有随机性影响的数据的学科。也就是说，统计学是直接从随机现象的观察值去研究它的客观规律。经过多年的研究和发展，统计学已深入到了多个学科中，可以说，凡是一个实际问题涉及一批数据，我们都应该利用统计学方法去分析它、解决它。统计学是唯一的对数据进行整理和分析的学科。随着统计学的发展和完善，其研究内容也非常丰富，且形成了多个学科分支，如抽样调查、试验设计、回归分
3、析、多元统计分析、时间序列分析、非参数统计、贝叶斯(Bayes)方法，等等。6.1总体与样本6.1.1总体与个体总体(母体)：研究对象的全体所构成的一个集合；个体：构成总体的每一个成员；对多数实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。比如，我们要研究本校学生的身高情况，则本校的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。事实上，每个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重、民族、籍贯，等等，而在该问题中，我们关心的只是本校学生的身高如何，对其他的特征暂不予考虑。这样，每个学生（个体）所具有的数量指标值——身高就是个体，而将所有身高全体看成总体。这样一来，若抛开
4、实际背景，总体就是一堆数，这堆数有大有小，有的出现的机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的，从这个意义看，总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。例6.1.1磁带的一个质量指标是一卷磁带（20m）上的伤痕数。每卷磁带都有一个伤痕数，全部磁带的伤痕数构成一个总体。这个总体中相当一部分是0（无伤痕，合格品），但也有1,2,3等，但多于8个的伤痕数非常少见。研究表明，一卷磁带上的伤痕数X服从泊松分布P(λ)，但分布中的参数λ却是不知道的。显然，λ的大小决定了一批产品的质量，它直接影响生产方的经济效益。本例中总体分布的类型是明
5、确的，是泊松分布，但总体中还含有未知参数λ，故总体还不是一个特定的泊松分布。要确定最终的总体分布，就是要确定λ，这是统计的任务。在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个甚至更多个指标，此时可用多维随机变量及其联合分布来描述总体，这种总体称为多维总体。根据总体中所包含个体的个数，将总体分为有限总体和无限总体。6.1.2样本为了了解总体的分布，我们从总体X中随机地抽取n个个体，记为X1,X2,…,Xn，并记其指标值为x1,x2,…,xn，或称为样本值，则X1,X2,…,Xn称为总体的一个样本，n称为样本容量，或简称为样本量，样本中的个体称为样品。我们首先指出，样
6、本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是一个随机变量，用大写字母X1,X2,…,Xn表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值。此时，用小写字母x1,x2,…,xn表示也是恰当的。但由于抽样是随机的，所以样本值x1,x2,…,xn也是随机的。例6.1.2啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为500g，由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为500g。现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果（单位：g）：50249949349250150049849649
7、4497这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。从总体中抽取样本可以有不同的抽法，为了能由样本对总体作出较可靠的推断，就希望样本能很好地代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要求，最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求：（1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这便意味着每个样品Xi与总体X有相同的分布。（2）样本要有独立性，即要求样品中每一样品的取值不影响其他样品的取值，这便意味着X1,X2,…,Xn相互独立。用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，也简称样本。于是，样本X1,X2,…,Xn可以看成
8、是相互独立
