迭代算法求解矩阵方程埃尔米特双对称解.pdf

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1、第34卷第2期重庆工商大学学报(自然科学版)2017年4月Vol．34NO．2JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2017doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2017．0002．002*迭代算法求解矩阵方程埃尔米特双对称解胡志增，杨春花(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411105)æA1XB1+C1XD1öM1摘要:通过构建一个迭代算法来求解复矩阵方程组最小F范数剩余问题:minç÷－()，ç÷MèA2XB2+C2XD2ø2H其中X是埃尔米特双对称矩阵，即满足X=X=SnX

2、Sn;在不考虑舍入误差的条件下，对于任意双埃尔米特矩阵X0，矩阵方程组的解都能在有限步内得到;最后，给出一个数值试验来检验算法的有效性．关键词:复矩阵方程;迭代算法;埃尔米特双对称解中图分类号:O151．24文献标志码:A文章编号:1672-058X(2017)02-0006-06［6］的广义自反解．更进一步，周忠礼和黄广新求解了1问题论述q［7］ΣAijXjBij=Mi，i=1，2，…，p的自反解;谢雅君j=1结合了CGS，BCG和BI-CGSTAB等算法求解了方程矩阵方程大量出现于线性系统理论之中，所以矩阵方程求解以及解的形式的进一步研究是有必组A1

3、XB1+C1YD1=E，A2XB2+C2YD2=F的解;梁开［8］福和刘建州提出了一个修正的共轭梯度算法，求要的。早期求解矩阵方程时，Keonecker积起到了举TT足轻重的作用，但是随着矩阵阶数的逐渐增大，如解了方程A1XB1+C1XD1=F1，A2XB2+C2XD2=［9］果依然使用Keonecker积，则会使其阶数成几何倍F2;蔡静和陈国良给出了A1XB1=C1，A2XB2=C2［10］数增大，维数的增大必然导致求解过程中舍入误差的最小二乘双对称解;周金华、刘建州求得了矩TTT更大，最终结果可能会因为误差过大而不再是原问阵方程AXB－BXA=D的最

4、小二乘解．题的解。所以，近年来用迭代方法求解矩阵方程有通过使用迭代方法来求解矩阵方程组A1XB1+［1］了更多的研究。黄娜和马长丰等用迭代算法求C1XD1=M1，A2XB2+C2XD2=M2的埃尔米特双对称TTn×nH出了方程A1XB1+C1YD1=F1，A2YB2+C2XD2=F2解，用HBSC表示，即X满足X=X=SnXSn，其中的迭代解以及其不相容时的最小范数解;刘爱静Sn=(en，en－1，…，e1)而ei表示第i个分量为1的n×等［2］求解了相容矩阵方程组AXB=C，AXB=CHT1112221矩阵。对于矩阵A，用A，A，A，tr(A)，A分别

5、［3］的双对称最小范数解;段学峰等用一种新的迭代表示A的共轭转置，A的共轭、A的转置、A的迹以算法解决了一类矩阵近似问题;刘勇等［4］求解了一H及A的Frobenius范数，且A=槡tr(AA)。若A，m×n个系统方程的广义自反和广义反自反解;而陈德钦B∈C，则定义A，B的内积〈A，B〉=［5］Hm×n等则用迭代法求得了矩阵方程AXB=E，CXD=FＲe［tr(AB)］．其中C表示所有复数域上m×n收稿日期:2016－09－14;修回日期:2016－10－23．*基金项目:湖南省自然科学基金项目(2015JT2134)．作者简介:胡志增(1991－)，男

6、，河南安阳人，硕士研究生，从事最优控制理论与计算研究．第2期胡志增，等:迭代算法求解矩阵方程埃尔米特双对称解7*矩阵．当且仅当F(X)=0n×n本文主要考虑以下问题．引理4矩阵X∈HBSC当且仅当X=p×nH问题Ⅰ已知矩阵A1，A2，C1，C2∈C，B1，X=SnXSn．B，D，D∈Cn×q，M，M∈Cp×q，求矩阵X∈n×n21212引理5假设矩阵X∈HBSC，则X+n×nn×nHBSC使得SnXSn∈HBSC．n×nn×næö引理6设矩阵A∈C，X∈HBSC，则有A1XB1+C1XD1M1ç÷－=min(1)1ç÷()HHèAXB+CXDøM2〈A

7、，X〉=〈[A+A+Sn(A+A)Sn]，X〉22222由F范数的基本性质以及矩阵内积，可知:2问题Ⅰ的规范方程F(X+δE)=2æA1XB1+C1XD1－M1+δ(A1EB1+C1ED1)ö以下主要给出式(1)的最小F范数剩余问题规ç÷=ç÷范方程．èA2XB2+C2XD2－M2+δ(A2EB2+C2ED2)ø首先，给出推导过程中所用到的一些定义和〈A1XB1+C1XD1－M1+δ(A1EB1+C1ED1)，引理．n×nA1XB1+C1XD1－M1+δ(A1EB1+C1ED1)〉+定义1设SC，对于任意矩阵x1，x2∈S，以及任意数α∈(0，1)，若

8、都有αx1+(1－α)x2∈S，〈A2XB2+C2XD2－M2+δ(A2EB2+