耦合Sylvester矩阵方程的梯度迭代算法-论文.pdf

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1、·318·价值工程耦合Sylvester矩阵方程的梯度迭代算法AGradientIterativeAlgorithmforSolvingtheCoupledSylvesterMatrixEquations张龙ZHANGLong(昆明理工大学理学院，昆明650500；昆明理工大学工程数学中心，昆明650500)(FacultyofScience，KunmingUniversityofScienceandTechnology，Kunming650500，China；TheCenterofEngineering

2、Mathematics，KunmingUniversityofScienceandTechnology，Kunming650500，China)摘要：通过推广求解矩阵方程AX：b或AX+XB=C的递推迭代算法和基于递阶辩识原理的思想，给出了求解广义耦合矩阵方程的梯度迭代算法。并证明了迭代算法的收敛性。分析表明，若矩阵方程有唯一解，则对任意的初始值该算法给出的迭代解都能快速的收敛到其精确解。数值实例验证了该算法的有效性。Abstract：Thispaperpresentsagradientiterative

3、algorithmforsolvingthegeneralizedcoupledmatrixequationsbasedonthehierarchicalidentificationprincipleandextendingoftheiterativealgorithmfortheAX=borAX+XB=C．andtheconvergenceofthismethodisalsogiven．Theanalysisshowsthatifthematrixequationhasanuniquesolution，

4、thentheiterativesolutionsconvergefasttotheexactoneforanyinitialvalue．Givingnumericalexampledemonstratestheeffectivenessoftheproposedalgorithm．关键词：递阶辨识；梯度迭代；耦舍矩阵；最小二乘Keywords：hierarchicalidentification；gradientiterative；coupledmatrix；leastsquares中图分类号：024文

5、献标识码：A文章编号：1006-4311(2014)30-0318-040引言引理1若矩阵方程Ax=b中的矩阵A是列满秩的，矩阵方程是矩阵理论和系统控制理论中研究的重要则由梯度迭代算法内容之一。传统求解矩阵方程的方法是通过利用矩阵方程x(k)=x(k一1)+A(b—Ax(k-1))的拉直、积和矩阵求逆的转化方法求得其精确解，然而，经有限步迭代之后得到的X(k)收敛到真实解，即随着所求矩阵维数的增大会导致存储空间太大和计算复limx(k)=x。其中的收敛因子满足O<<2，(一(A_rA))或0<杂度的增加，

6、并且不能充分利用矩阵方程系统本身的结p~<2／IIAII。构。因此，在实际的应用中，矩阵方程的近似解就显得非常引理2m若矩阵方程AXB=F中的矩阵A是列满秩的，重要，从而，出现了不同的迭代方法求其数值解。B是行满秩的，则其有唯一解X=(ATA)ATFB(BBa)～，其最西尔维斯特矩阵方程AXB+CXD=F和耦合矩阵方程小二乘迭代算法格式为AX+XB=C，DX+x_lE=F许多文献提出梯度迭代算法，以及x(1【)：x(k一1)+(AlA)～AT[F—AX(k一1)BIB~(BBT)q,0<／x<2在有限步迭

7、代算法求解广义耦合矩阵方程AY—ZB=E，1基于一种新的梯度迭代算法求耦合矩阵方程的数CY—ZD=F的广义自反解_1-41。MasoudHajarian在文献[101~h值解提出更复杂的广义耦合矩阵方程Ax。B+Cx2D=E，本文考虑的耦合矩阵方程为A2XB2+c2X：D：=E：的广义中心对称解，以及基于递阶辨识IAX+YB=C(1)原理的思想给出了求解扩展的Sylvester共轭转置矩阵方其中，矩阵A，D∈R一，B，E∈R“禾口C，F∈Rm是已程AIxB+cjXaDj=F的算法网。本文基于梯阶辨识原理：

8、jF1知的，矩阵x，Y∈R～是待求解的未知矩阵。的思想，将耦合矩阵方程分解成若干个子系统，提出求解耦本节将根据递阶辨识原理建立其耦合矩阵方程的梯合矩阵方程AX+YB=C，DX+YE=F的梯度迭代算法。最后的度迭代算法。数值实验说明了算法的有效性，并且该算法还可进一步的1．1耦合矩阵方程的精确解推广，用于求解更一般的线性矩阵方程或方程组。根据矩阵的kronecker积，方程组(1)可等价地表示为文中符号与术语如下表示对于给定的A