高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二学案.docx

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1、1．2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．　2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．1．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)两个函数的差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)两个函数的积的导数[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)两个函数的商的导数′＝(g(x)≠0)2.复合函数复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝

2、g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1.对导数运算法则的理解(1)导数的加(减)法法则推广：即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)函数积的求导法则特例：当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)；

3、[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．(3)函数商的导数：≠，当f(x)＝1时，＝＝－.(4)复合函数的求导：只研究y＝f(ax＋b)型的复合函数的求导．2．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)′＝ex.(　　)(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．(　　)(3)y＝cos3x由函数y＝cosu，u＝3x复合而成．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为

4、(　　)A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1解析：选A.因为f(x)＝cosx＋lnx，所以f′(x)＝－sinx＋，所以f′(1)＝1－sin1.函数y＝sinx·cosx的导数是(　　)A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：选B.因为y＝sinx·cosx，所以y′＝(sinx·cosx)′＝(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′＝cos2x－sin2x.若f(x)＝，则f′(x)＝________．解析：f′(x)＝＝.答案：探究点

5、1　利用导数运算法则求导数　求下列函数的导数．(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝lgx－；(3)y＝(x2＋3)(ex＋lnx)；(4)y＝sin4＋cos4.【解】　(1)y′＝6x＋cosx＋x(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝(lgx)′－(x－2)′＝＋.(3)y′＝(x2＋3)′(ex＋lnx)＋(x2＋3)(ex＋lnx)′＝2x(ex＋lnx)＋(x2＋3)＝ex(x2＋2x＋3)＋2xlnx＋x＋.(4)因为y＝－2sin2cos2＝1－sin2＝1－×＝＋cosx，所以y′＝′＝－sinx.利用导数运算法则求导数的

6、求解策略(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．　　1.设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，当h(x)满足下列条件时，求h(5)，h′(5)的值．(1)h(x)＝3f(x)＋2g(x)；(2)h(x)＝f(x)g(x)＋1；(3)h(x)＝.解：

7、(1)h(5)＝3f(5)＋2g(5)＝3×5＋2×4＝23.因为h′(x)＝3f′(x)＋2g′(x)，所以h′(5)＝3f′(5)＋2g′(5)＝3×3＋2×1＝11.(2)h(5)＝f(5)g(5)＋1＝5×4＋1＝21.因为h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，所以h′(5)＝f′(5)g(5)＋f(5)g′(5)＝3×4＋5×1＝17.(3)h(5)＝＝＝.因为h′(x)＝，所以h′(5)＝＝＝.2．求下列函数的导数：(1)y＝excosx；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝2x3＋＋cosx.解：(1)因为y＝excosx，所以y′

8、＝(ex)′cosx＋ex(cosx)