向量及其线性运算.ppt

《向量及其线性运算.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章§2.1向量及其线性运算§2.2向量的投影及坐标表示§2.3数量积向量积混合积*向量代数、平面与直线§2.4空间的平面和直线§2.1向量代数及其线性运算一、向量的概念及其表示二、向量的线性运算三、共线向量和共面向量四、小结一、向量的概念及其表示10向量：把既有大小、又有方向的量称为向量或矢量.如点的位移、力、速度等.在几何上，向量可以用一个有向线段来表示.将有向线段的长度表示向量的大小，它的方向表示向量的方向，称为向量的几何表示.1、概念aAB或黑体英文字母a、b、c…表示向量，有时也用大写字母上加一箭头来表示，如….20表示方法为了方便，也常用黑体希腊字母、β、…，30向量的模向

2、量的大小叫做向量的模，或向量的长度.、a的模依次记作

3、

4、、

5、

6、、

7、a

8、.向量、以A为起点,B为终点的向量用符号表示.40自由向量解析几何中所说的向量只考虑它的大小和方向而不计较它的起点位置，因此它可以平行移动，这种向量也称为自由向量.所以，如果两个向量α和β长度相等，方向相同，就称这两个向量相等，记作α=β.例如在平行四边形ABCD中，AB=DC.AB=DC，AD=BC，40反向量与向量α的长度相等，方向相反的向量，称为α的反向量或负向量，记作-α.显然，如β是α的负向量(β=-α)，那么α也是β的负向量(α=-β).在平行四边形ABCD中，按定义，显然AB=-BA.AB=-CD，AD=

9、-CB，例如50零向量长度为0的向量称为零向量，记作0.零向量实质上是起点与终点重合的向量，它的方向是不确定的，也可以说它的方向是任意的，可根据需要来选取它的方向.60单位向量长度为1的向量叫做单位向量.由于每个方向都有一个单位向量，若空间中所有单位向量都以O为起点，则这些向量的终点就构成一个以O点为球心半径为1的球面.二、向量的线性运算那么此平行四边形的对角线OC所构成的向量OC就是这两个力的合力。OABC在物理中，作用于一点O的两个力的合力可以用平行四边形法则来表示，设向量OA、OB分别表示这两个力，以OA、OB为边作平行四边形OACB，1、加法运算10平行四边形法则OABCαβα

10、+β=γ定义1以一点O作向量OA=α,OB=β，再以OA，OB为边作平形四边形OACB，称向量OC=γ为向量OA和OB之和，记作OA+OB=OC，或α+β=γ.(称为向量加法的平行四边形法则).两次位移的合成一般用三角形法则，由O位OA移到A，再由A位移到B，就相当于由O位移到B.B向量OB就表示这两次位移的合成.以O为起点作向量OA表示由O到A的位移，再以A为起点作向量AB表示由A到B的位移，那么20、三角形法则这个定义的等价说法是三角形法则：OAαBβα+β=γ由定义不难验证向量加法有下列基本性质：定义2从一点O作向量OA=α，再由A点作向量AB=β，称向量OB=γ是向量OA与AB的

11、和，记作OA+AB=OB，或α+β=γ.向量加法的基本性质：对于任意向量α、β、γ，有(1)α+β=β+α(交换律)；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)；(3)α+0=0+α=α；(4)α+(-α)=0.γαβα+β(α+β)+γ=α+(β+γ)三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ,n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为α1+α2+…+αn。α1α2α5α3s=α1+α2+α3+α4+α5α4s例如通过向量的加法及反向量的概念可以定义向量的减法.定义3我们规定两个向量α与β的差α-β是α与-β的和，即α-β=α+(-β).按三角形法则，α-β是由β的终点到α的终点的

12、向量.αβα-β向量的减法可看作向量加法的逆运算，即如α+β=γ，则α=γ-β.根据几何关系显然有：

13、α

14、-

15、β

16、≤

17、α+β

18、≤

19、α

20、+

21、β

22、.定义4实数k与一个向量α的乘积kα为一个向量，它的模为

23、kα

24、=

25、k

26、·

27、α

28、，当k>0时，kα的方向与α的方向相同；当k<0时，kα的方向与α的方向相反；当k=0或α=0时，kα=0.由定义可知：kα=0的充要条件为α=0或k=0.特别地，如果k=-1,有(-1)α=-α.与非零向量α同方向的单位向量为记为，这时α=

29、α

30、·2、向量的数乘运算向量与数量的乘法(简称数乘)满足下列基本性质：对于任意向量α、β和任意实数k,l有(1)l·α=α；(2

31、)k(lα)=(kl)α；(3)(k+l)α=kα+lα；(4)k(α+β)=kα+kβ.向量加法与数乘统称为向量的线性运算.三、共线向量和共面向量共线向量方向相同或相反的向量称为共线向量，我们还规定，零向量平行于任何向量.由于方向相同或方向相反的向量都是平行向量，因此，共线的两个向量α与β也叫做平行向量，记作α∥β.共面向量平行于同一平面的向量称为共面向量.证充分性.如果β=mα，由数乘向量的定义知，β与α共线，充分性得证.