《向量及其线性运算》ppt课件

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1、第八章空间解析几何与向量代数7/21/2021徐州工程学院数理学院第一节向量及其线性运算第八章一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影7/21/2021徐州工程学院数理学院既有大小又有方向的量叫做向量.在数学中,用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小;有向线段的方向表示向量的方向.一、向量的概念7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院在数学上只考虑向量的大小和方向,而不考虑向量的起点.这种与起点无关的向量叫做自由向量.经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.7/21

2、/2021徐州工程学院数理学院向量的模单位向量零向量零向量的起点和终点重合,方向可看作是任意的.7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院零向量与任何向量都平行.7/21/2021徐州工程学院数理学院1.向量的加法三角形法则或平行四边形法则运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.二、向量的线性运算BACABCD7/21/2021徐州工程学院数理学院多个向量相加的情况7/21/2021徐州工程学院数理学院三角不等式2.向量的减法7/21/2021徐州工程学院数理学院规定:总之,3.向量与数的乘法(数乘)7/21/2021徐州工程学

3、院数理学院向量与数的乘积的运算规律向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算.换言之，任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同方向的单位向量的数乘.7/21/2021徐州工程学院数理学院由于平行四边形的对角线互相平分,所以例1解：7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院例2化简解：7/21/2021徐州工程学院数理学院例3试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.7/21/2021徐州工程学院数理学院定理1则已知b＝a,b＝0a,b同向a∥ba,b反向充分性证明：7/21/2021徐州工程学院数理学

4、院必要性7/21/2021徐州工程学院数理学院数轴与向量数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。Ox如图，点O及单位向量确定了数轴Ox..P在轴上任取一点P,则有，从而存在唯一的xR使得且有7/21/2021徐州工程学院数理学院三个坐标轴的正方向符合右手法则.三、空间直角坐标系7/21/2021徐州工程学院数理学院Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限.ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ7/21/2021徐州工程学院数理学院各卦限中点的坐标的特点ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ一一对应7/21/2021徐州工程学院数理学院向量的坐标表示7/21/2021徐州工程学院数理

5、学院7/21/2021徐州工程学院数理学院向径坐标轴上的点P,Q,R坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);在直角坐标系下点的坐标ABC7/21/2021徐州工程学院数理学院坐标轴:坐标面:7/21/2021徐州工程学院数理学院设则平行向量对应坐标成比例:四、利用坐标作向量的线性运算7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院解：例2.2×①－3×②,得代入②得①②7/21/2021徐州工程学院数理学院如图所示,由于这就是M点的坐标.例3解：7/21/2021徐州工程学院数理学院得定比分点公式:点

6、M为AB的中点,于是得中点公式说明:7/21/2021徐州工程学院数理学院1.向量的模五、向量的模、方向角、投影7/21/2021徐州工程学院数理学院两点间的距离公式空间两点间距离公式7/21/2021徐州工程学院数理学院例4证明：7/21/2021徐州工程学院数理学院解：所求点为7/21/2021徐州工程学院数理学院因为例6解：7/21/2021徐州工程学院数理学院2.方向角与方向余弦7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院例7解：7/21/2021徐州工程学院数理学院例8解：7/21/2021徐州工程学院数理学院空间一点在轴上的投影3、

7、向量在轴上的投影7/21/2021徐州工程学院数理学院空间一向量在轴上的投影7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院向量的投影的性质7/21/2021徐州工程学院数理学院性质1说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；7/21/2021徐州工程学院数理学院7/21/2021徐州工程学院数理学院例9解：7/21/2021徐州工程学院数理学院