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1、第35卷第2期2009年4月曲阜师范大学学报JournalofQufiiNormalUniversity两个Hamilton算子积的自伴性"毕郑召文，侯伟(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东曲阜市)播要：主要讨论了由正则和奇异的Hamilton系统生成的Hamilton算子的积算子的自伴性，利用微分算子自伴延拓一般构造理论及分析技巧，得到了b］或［a,8))上两个算子的积算子是自伴算子的充分条件.关键词:Hamilton系统；Hamilton算子；极限点型；积算子；自伴边界条件中图分类号
2、：0175.3文献标识码:A文章编号:1001-5337(2009)020001-051引言■令E表示Hilbert空间L2(/)(/=［a,6］或［a,8))内由对称常微分算式€(y)及若干边界条件所定义的线性微分算子，关于微分算子的乘积或幕的有关问题，例如£(y)的霜的亏指数以及微分算式的可交换性等问题，已有不少论述和结果文献［4］讨论了二阶微分算子幕的自伴性.文献［5］给出了二阶微分算子积的自伴性的判定条件,从而开创了积算子自伴性延拓判定条件的研究.文献［6］给岀了m个"阶微分算子积的自伴性
3、的判定条件•但关于Hamilton算子积的自伴性，迄今未见有系统研究•本文利用Hamilton算子的自伴条件及微分算子自伴延拓一般构造理论及分析技巧，对于两个Hamilton算子的积的自伴性，给出了判别条件.2预备知识在本文中，我们考虑Hamilton系统其中I=［a,b］或［a,8)或等价地丿/=AJFy,其中A,B,C,%为定义在区间l上的复的axa连续矩阵值函数"•表示A的共純转置矩阵，人表示nxn单位矩阵)，B,C为厄米矩阵为秩r的厄米矩阵,对应的MHamilton矩阵”皿()是2nx2n
4、厄米矩阵，而/是反对称矩阵.若函数x(O,u(r)在/上满足系统(H),那么我们说函数”(/),“(/)是系统在/上的解.本文中为方便起见，如果不特别说明，则当/为无穷区间［a,oo)时，积分中的积分上限8也记为6.定义形式Hamilton算子€(/)(«)=Jy(t),ye。⑷，其中P(€)=
5、y：/—>C2nlye4^(/)
6、,其中4C“(/)为/上绝对连续的加维向量函数的全体令从(/)为/上满足jf(s)W(s)f(s)ds<«的加维車收稿日期：20084905基金项目：国家自然科学基金资助
7、项目(10771118,10801089)・作者简介:毕盈，女,1981•，硬士;研究方向：徽分算子谱理论.E-mail：biyingangel©163.com.郑召文，男」974・.博士,教授；研究方向：微分方程理论与应用.E-mail：zhwzheng@126.com.向量函数/的全体构成的空间，则有11/112==}f(s)W(s)f(s)ds为上的半范数.定义4(/)xL^(/)上的线性关系T如下ly.flee4CIoc(/),y,/gL；(/),Zy=一般来说，若定义eT,则T
8、并不是一个真正意义下的算子，原因在于0是一个奇异矩阵,为了解决这一问题，我们总假定文献[8]中的条件Jy'5二巧,吟=0,/e4(/)=>y(O=0^e/(2.1)总是成立.在此条件下，易证T：L；(/)^L；(/),7y=/,就是一个良定义的算子.这儿，T的定义域为D(T)=
9、ye4(Z)：rg>ICloc(7),3/e爲，fy=Wjf
10、.定义2.1称由上式所定义的算子T为由€生成的最大算子(记最大算子为T,,其定义域记作引理2.1(Green公式)⑺若/,geD(€),则[“•(“(£/)("
11、-(€g)*(O/(Ol^=[g・(/)〃(/)]?,a<0w/・(2.2)定义2.2对任意的f、gj定义边值形式如下[f：g]w[lg・Q)0(t)(7V)Q)-(Tlg)-(t)^(O/(Oldi,显然/g"(7V，g)-(f，T、g)・定义2.3算子T0：D(T0)^L；(/),y^Toy=Tiy=/,D(To)=
12、yGI[y：A)(T.)]=0
13、，称％为由€产生的最小算子(其定义域记作久)・显然D°U%・引理2.2⑺最小算子T。是稠定对称的.对任意固定的心/,设y为定义在[a,b]U/上的
14、任意2〃维向量函数，M,N为2nx2n矩阵，我们考虑边值条件My(a)+Ny(b)=0.(2.3)定义2.4如果对满足边值条件(2.1)的任意2n维向量函数y,z,都有y*JZI^=0成立，则称边值条件(2.1)为形式自伴的.引理2.3⑻设M,N为2nx2n矩阵，且rank(Af,N)=2n则边值条件(2.1)为形式自伴的当且仅当MJM*=W7V定义2.5设/为7；的正负亏指数，则称Hamilton算子£或Hamilton系统(H)在2+8处为(力，犷)型，特别地，若=d-=nf
