)广西专版课件：63不等式的证明(第3课时).ppt

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1、第六章不等式16.3不等式的证明第三课时题型6用反证法证不等式1.已知a、b、c∈(0，1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于.证法1：假设三式同时大于，2即有(1-a)b＞，(1-b)c＞，(1-c)a＞,三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.又(1-a)a≤()2=，同理，(1-b)b≤，(1-c)c≤，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤，因此与假设矛盾，故结论正确.证法2：假设三式同时大于.因为0＜a＜1，所以1-a＞0，3所以同理，都大于.三式相加得＞，矛盾.故假

2、设不成立，从而原命题成立.点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设——推理——导出矛盾(得出结论).4已知a,b,c∈R,求证：a2-2c,b2-2a,c2-2b三个式子中至少有一个不小于-1.证明：假设三式都同时小于-1，即a2-2c＜-1，b2-2a＜-1，c2-2b＜-1，三式相加，得a2-2c+b2-2a+c2-2b＜-3，所以a2-2c+b2-2a+c2-2b+3＜0，即有(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2＜0，这与(a-1)2+(b-1)2+(c

3、-1)2≥0，矛盾.故结论成立.52.已知a、b∈R，a2+b2≤4，求证：

4、3a2-8ab-3b2

5、≤20.证明：因为a、b∈R，a2+b2≤4，所以可设a=rcosθ,b=rsinθ,其中0≤r≤2，所以

6、3a2-8ab-3b2

7、=r2

8、3cos2θ-4sin2θ

9、=r2

10、5cos(2θ+arctan)

11、≤5r2≤20.所以原不等式成立.题型7用换元证不等式6点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有：若x2+y2=a2，可设x=acosθ

12、，y=asinθ；若可设x=acosθ，y=bsinθ；若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1).7已知1≤x2+y2≤2，求证：≤x2-xy+y2≤3.证明:设x=rcosθ,y=rsinθ,且1≤r≤2,θ∈R,则由-1≤sin2θ≤1，得≤1-sin2θ≤.又1≤r2≤2，所以≤r2(1-sin2θ)≤3，即≤x2-xy+y2≤3.拓展练习83.求证：证明：令x∈R，则yx2+yx+y=x2-x+1.于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0.①(1)若y=1，则x=0，符合题意；(2)若

13、y≠1,则①式是关于x的一元二次方程.题型8判别式法证不等式9由x∈R，知Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0，解得≤y≤3且y≠1.综合(1)(2)，得≤y≤3，即点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.10求证：证明：令则yx2-(y+1)x+y+1=0，①(1)当y=0时，得x=1，符合题意；(2)当y≠0时，则①式是关于x的一元二次方程.由x∈R，得Δ=(y+1)2-4y(y+1)≥0，解得-1≤y≤,且y≠0.综合(1)(2),得

14、-1≤y≤,所以拓展练习11已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x＞-1，证明:≤ln(x+1)≤x.证明：令f′(x)=0，得x=0.当x∈(-1，0)时，f′(x)＞0;当x∈(0，+∞)时，f′(x)＜0.题型不等式与函数的综合应用12所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数，在区间(0，+∞)上是减函数.所以当x＞-1时，f(x)≤f(0)=0，即ln(x+1)-x≤0，故ln(x+1)≤x.令则令g′(x)=0，得x=0.当x∈(-1，0)时，g′(x)＜0;当x∈(0，+∞)时，g′(x)＞0.13所以g(

15、x)在(-1，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故当x＞-1时，g(x)≥g(0)=0，即故综上知，141.在已知中如果出现两数相加等于一个正常数，可联想到公式sin2α+cos2α=1，进行三角换元.2.含有字母的不等式证明，可以化为一边为零，而另一边为某个字母的二次三项式，考虑判别式.3.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.15