解线性方程组的直接法4.1-2.ppt

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1、第四章解线性方程组的直接法实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式，曲线拟合的法方程等问题。对线性方程组：或者：我们有Gramer法则：当且仅当时，有唯一的解，而且解为：但Gramer法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的②迭代法：速度快，但有误差本章讲解直接法解线性方程组的两类方法：直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法

2、。（一般有限步内得不到精确解）4.1直接法和三角形方程组求解4.2Gauss消去法4.3Gauss列主元消去法4.4直接三角分解法4.5平方根法4.6追赶法(Thomas法)本章研究内容本章要点线性方程组的解法类型之一:直接解法主要归结为三角形方程组的求解。包括一般线性方程组的Gauss消去法、Gauss列主元法、对称正定方程组的平方根法、三对角方程组的追赶法等涉及到一些三角分解：主要有Doolittle分解、Crout分解、Cholesky（乔利斯基）分解等4.1直接法和三角形方程组求解实际问题中的线性方程组分类：按系数矩阵中零元素的个数：稠密线性方程组稀疏线性方程组按

3、未知量的个数：高阶线性方程组低阶线性方程组(如1000)(80%)按系数矩阵的形状对称正定方程组三角形方程组三对角占优方程组一、直接法概述直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法，共有若干种．对于线性方程组其中系数矩阵未知量向量常数项------------(1)根据Cramer(克莱姆)法则,若行列式的记号若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:经过n-1次同解即以上求解线性方程组的方法称为Gauss消元法则都是三角形方程组上述方法称为直接三角形分解法------------(2)不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法,最都归结为解三角形方程组二

4、、三角形线性方程组的解法若记下三角形线性方程组上三角形线性方程组即回代方向其解为其解为:回代方向对方程组，作如下的变换，解不变①交换两个方程的次序②一个方程的两边同时乘以一个非0的数③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程因此，对应的增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变①交换矩阵的两行②某一行乘以一个非0的数③某一个乘以一个非0数，加到另一行4.2Gauss消去法一、消元与回代计算对线性方程组对其增广矩阵施行行初等变换:定义行乘数变化后的矩阵为：定义行乘数则回代：二、Gauss消去法的运算量计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算故在衡量一个算法的运算量时

5、只需统计乘除的运算次数乘法次数：除法次数：全部回代过程需作乘除法的总次数为于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为数级注意到，计算过程中处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0所以，Gauss消元法的可行条件为：则A的第k列至少有一个元素不为零换