解线性方程组的直接法课件.ppt

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1、第三章解线性方程组的直接法第三章解线性方程组的直接法引言Gauss消元法列主元素消元法矩阵三角分解法向量和矩阵的范数误差分析3.1引言小行星轨道问题：天文学家要确定一小行星的轨道，在轨道平面建立以太阳为原点的直角坐标系。在坐标轴上取天文测量单位(一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万英里，约1.5亿千米)，对小行星作5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如下：x5.76406.28606.75907.16807.4800y0.64801.20201.82302.52603.3600椭圆的一般方程:a1x2+a2xy+a3y2+a4x+a5y+1=0将数据逐个代入，可得五个

2、方程的方程组，求解该线性方程组即可得行星轨道方程。对一般线性方程组:Ax=b,其中由以前所学内容知，当且仅当矩阵A行列式不为0时，即A非奇异时，方程组存在唯一解，可根据Cramer法则求解。其算法设计如下：（1）输入系数矩阵A和右端向量b；（2）计算系数矩阵A的行列式值D，如果D=0，则输出错误信息，结束，否则进行第(3)步；（3）对k=1,2,···,n，用b替换A的第k列数据，并计算替换后矩阵的行列式值Dk；（4）计算并输出x1=D1/D，x2=D2/D，····，xn=Dn/D，结束。但Cramer法则只适用于低阶方程组，高阶方程组工作量太大，故一般用数值方法求解。数值

3、方法分两类：1.直接法2.迭代法3.2Gauss消元法第二步:回代过程，解上三角形方程组，得原方程组的解。基本思想：逐步消去未知元，将方程组化为与其等价的上三角方程组求解。分两步：第一步:消元过程，将方程组消元化为等价的上三角形方程组;Gauss消元的目的：原始方程组约化方程组消元过程(化一般方程组为上三角方程组)以四阶为例：其系数增广矩阵为：第一轮消元：计算3个数:[m21m31m41]T=[a21a31a41]T/a11用-m21乘矩阵第一行后加到矩阵第二行;用-m31乘矩阵第一行后加到矩阵第三行;用-m41乘矩阵第一行后加到矩阵第四行;其系数增广矩阵变为：第二轮消元：计

4、算2个数：[m32m42]T=[a32(1)a42(1)]T/a22(1)用-m32乘矩阵第二行后加到矩阵第三行;用-m42乘矩阵第二行后加到矩阵第四行;其系数增广矩阵变为：第三轮消元：计算:m43=a43(2)/a33(2)用-m43乘矩阵第三行后加到矩阵第四行;其系数增广矩阵变为：其对应的上三角方程组为若对于一般的线性方程组Ax=b，其消元过程的计算公式为：（k=1,2,…,n-1）回代过程(解上三角方程组)上三角方程组的一般形式为：其中a11…ann≠0回代过程的计算公式：工作量计算：消去过程：“÷”：第k步，n-k次，共(n-1)+(n-2)+……+1=n(n-1)/

5、2“×”：第k步，(n-k)(n-k+1)次，共(n-1)n+(n-2)(n-1)+……+1×2=(n3-n)/3总工作量：S1=n(n-1)/2+(n3-n)/3回代过程：“÷”：n“×”：1+2+……+(n-1)=n(n-1)/2总工作量：S2=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2（k=1,2,…,n-1）故Gauss消元法的总工作量为：S=S1+S2=n(n-1)/2+(n3-n)/3+n(n+1)/2=n2+(n3-n)/3若用克莱姆法则求解，则工作量为：“×”：（n+1个n阶行列式的值）(n+1)(n-1)n!“÷”：n故总工作量为：[(n+1)(n-1)]n!+

6、n如当n=6时,Gauss消元法工作量为106；而克莱姆法则求解工作量为25206。1.Newton迭代法及其收敛性前一次课内容回顾2.Newton迭代法的变形（简化Newton迭代法、弦截法、Newton下山法）3.Gauss消元法求解线性方程组定理：约化的主元素ak+1,k+1(k)≠0(k=0,1,···,n-1)的充分必要条件是矩阵A的各阶顺序主子式不为零。即注：对角线上的元素ak+1,k+1(k)在Gauss消元法中作用突出，称约化的主元素。推论:如果A的顺序主子式Dk≠0(k=1,···,n-1)，则Gauss消元法中的约化主元可以表示为x1=-13,x2=8,x

7、3=2m21=3/2m31=4/2m32=-3/0.5例用高斯消元法求解方程组矩阵的三角分解:对线性方程组Ax=b的系数矩阵A施行初等行变换相当于用初等矩阵左乘A，故第一次消元后方程组化为A(1)x=b(1)，即L1Ax=A(1)x，L1b=b(1)，其中同理LkA(k-1)=A(k)Lkb(k-1)=b(k)其中将A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的算法称为矩阵A的三角分解算法。重复该过程，最后得记U=A(n-1)，则其中定理：设A为n阶矩阵，若A的顺序主子式Di≠0（i=1,2,…n-1）