一阶常微分方程.ppt

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1、教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解方法难点：一阶线性非齐次微分方程的通解重点：可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程第二讲一阶微分方程的解法主视图则称为可分离变量的微分方程.解法为微分方程的通解.分离变量法如果一阶微分方程能化为可分离变量法例求解微分方程解分离变量两端积分得故:例题解分离变量，得两边积分因此，通解为于是，所求特解为例题解由题设条件衰变规律例题回主视图利用微分方程解决实际问题的步骤：一、利用问题的性质建立微分方程，并写出初始条件；二、利用数学方法求出方程的通解；三、利用初始条件确定任意常数的值，求出特解．解题步骤回主视图的微分方程称为齐次方程.2.解法作

2、变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义齐次微分方程例求解微分方程把变量代回得微分方程的解为解例题例求解微分方程解微分方程的通解为满足初始条件的特解．原方程可化为将初始条件代入通解中，得到所求特解为例题例求解微分方程解令则分离变量，并两边积分微分方程的通解为例题回主视图一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.例如线性的;非线性的.一阶线性微分方程回主视图齐次方程的通解为线性齐次方程(使用分离变量法)一阶线性齐次微分方程解法回主视图线性非齐次方程讨论:设y=f(x)是解,则积分非齐方程通解形式一阶线性非齐次方程解法回主视图把齐次方程通解

3、中的常数变易为待定函数的方法.设解为积分得非齐方程通解常数变易法例求解微分方程．对应齐次方程为故所求通解为分离变量得两边积分有代入原非齐次方程，得常数变易法例题根据公式有:公式法例题以条件代入，得因此，所求特解为例题回主视图例求解微分方程解原方程不是线性方程，但通过适当的变换,可将它化为线性方程．将原方程改写为由通解公式，得通解所以，原方程通解为例题回主视图一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.所以通解回主视图的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.方程为非线性微分方程.方程为线性微分方程.解法:经过变量代换化为

4、线性微分方程.一般地,形如,则上式化为从而化为一阶线性方程伯努利方程回主视图