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1、differentialequation第11章微分方程小结11.2(2)齐次方程齐次方程微分方程2一、齐次方程如果一阶微分方程可以写成齐次方程.即得到u满足的方程即的形式,作变量代换代入则称之为可分离变量的方程分离变量两边积分求出通解后,就得到原方程的通解.所以3微分方程解方程变为分离变量两边积分可分离变量方程得方程的特解为的特解为y=例14解方程解将方程写为齐次方程方程变为即积分得可分离变量方程练习5分析解令方程变为齐次方程可分离变量方程把x看作y的函数,求解比较方便.例26两边积分即得通解分离
2、变量7例3已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定成本两部分构成.假设可变成本y是产量x的函数,且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之和除以产量与可变成本之积的两倍固定成本为1;求总成本函数C=C(x).解齐次方程8可分离变量方程分离变量两边积分由此可得代入上式,得通解因成本故上式根号前取正号.可得于是,可变成本为总可变成本函数为9作业P258:3(2)(5).10四、小结齐次方程11小结思考题一阶线性微分方程11.2(3)一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程微分方程应用12一
3、、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;非线性的.齐次的;非齐次的.线性一阶自由项13齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C1为任意常数)142.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.设想非齐次方程待定函数线性齐次方程的通解是但它们的解是15从而C(x)满足方程16即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.17一
4、阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的初值问题的解为18非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构注一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.19练习设非齐次线性微分方程有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数,则该方程的通解是20解例1一阶线性非齐次方程21解由通解公式有练习将方程改写成一阶线性非齐次方程22例2解方程若将方程写成则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成以x为未知函数,即一阶非齐次线性方程.分析y为自变量的23
5、此外,y=1也是原方程的解.解24注参数形式的.解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是因变量,视方便而定,关系.关键在于找到两个变量间的解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是25形如的方程,方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.需经过变量代换化为线性微分方程.解法称为伯努利(Bernoulli)方程.事实上,用除方程的两边,得雅个布·伯努利(瑞士)1654-1705二、伯努利(Bernoulli)方程变量代换在数学的各个方面都是极重要的,极限运算和积分运算中已看到了变换的作用.26即可见只要作变
6、换,方程就可化为z的一阶线性方程伯努利方程的通解令27解例3伯努利方程作变换则方程化为即它的通解为故原方程的通解为28求解下列微分方程:例4解题提示方程中出现等形式的项时,通常要做相应的变量代换29解代入原式分离变量法得所求通解为另解一阶线性方程.可分离变量方程方程变形为30解积分方程例5如图所示,平行于y轴的动直线被曲线等于阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程即截下的线段PQ之长数值上求曲线y=f(x).三、应用31所求曲线为32作业P258:4(3)(5).33一阶线性微分方程四、小结伯努利微分方
7、程34一阶微分方程的解题程序(1)审视方程,判断方程类型;(2)根据不同类型,确定解题方案;(3)非典型的方程,可作适当变换;(4)做变量替换后得出的解,最后一定要还原为原变量.35一曲线为连接点O(0,0)和A(1,1)的一段凸曲线,曲线⌒上任一点P(x,y),曲线⌒与直线所围图形的面积为x2,求曲线弧⌒的方程.解设曲线弧⌒的方程为y=y(x)方程两端求导,得积分方程即得初值问题一阶线性方程的的初值问题思考题36即得初值问题一阶线性方程的的初值问题注则从通解中定不出任意常数C的值.按题设,曲线通过
8、两点O(0,0)和A(1,1),但若将y(0)=0作为初值条件,37
