线性代数 矩阵的特征值与特征向量.ppt

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1、§1特征值与特征向量、相似矩阵第五章矩阵的特征值与特征向量§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量二、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵§1特征值与特征向量、相似矩阵一、特征值与特征向量定义1：列向量　，使得则称数为方阵A的一个特征值，非零向量称为设A是n阶方阵，若对于数，存在n维非零A的属于特征值的一个特征向量.注：存在非零向量使1特征值与特征向量、相似矩阵设是一个未知量，矩阵　　　称为A的定义2:特征矩阵，它的行列式特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值.称为A的特征多项式.方程称为A的注.n阶方

2、阵A在复数范围内有n个特征值.1特征值与特征向量、相似矩阵（1）若是A的属于特征值　的特征向量，则也是A的属于　的特征向量.（3）特征向量不是被特征值所唯一确定的.（4）特征值是被特征向量所唯一确定的.（一个特征值可以有多个特征向量）（一个特征向量只能属于一个特征值）（2）也是A的属于　的特征向量.若是A的属于特征值　的特征向量，则不全为零1特征值与特征向量、相似矩阵求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量.并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值全部特征值.i)求A的特征多项式的全部根，它们就是A的

3、1特征值与特征向量、相似矩阵例1.求矩阵的特征值与特征向量.例2.求矩阵的特征值与特征向量.例3.求矩阵的特征值与特征向量.例题（P160-163）1特征值与特征向量、相似矩阵性质1：n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同.性质3：已知　为n阶矩阵A的一个特征值，则（1）　必有一个特征值为;（2）　必有一个特征值为;主要性质①A的全体特征值的和＝②A的全体特征值的积＝性质2：设n阶矩阵，则1特征值与特征向量、相似矩阵（3）　　　　　必有一个特征值为;（4）A可逆时，　必有一个特征值为;（5）A可逆时，　必有一个特征值为；（6）多项式　必有一个特征值为.1特征值与

4、特征向量、相似矩阵例4.设3阶矩阵A满足　　　　　　，则A的特征值只能是1或2.证明：由得即，从而，或即A的特征值只能是1或2.1特征值与特征向量、相似矩阵例6.已知3阶矩阵A的特征值为：1，2，3，求行列式　.例5：已知3阶矩阵A的特征值为：1，－1，2，则矩阵　　　　　　的特征值为：，行列式　＝.1特征值与特征向量、相似矩阵特征值的特征向量，则定理1.设是阶矩阵A的属于互不相同的线性无关.（属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关.）1特征值与特征向量、相似矩阵值，是A的属于特征值定理2.设是阶矩阵A的互不相同的特征的线性无关特征向量，则向量组线性无关.（

5、对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）.1特征值与特征向量、相似矩阵二、相似矩阵1．定义设A，B为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得则称矩阵A相似于B，P称为相似变换矩阵.2．基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似.（2）相似矩阵的幂矩阵也相似.1特征值与特征向量、相似矩阵（3）相似矩阵的多项式也相似.（4）相似矩阵的秩相等.（5）相似矩阵的行列式相等.（6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其逆矩阵也相似.定理3.相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.1特征值与特征向量、相似矩阵推论.设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则就是A

6、的n个特征值.注.若矩阵A与对角矩阵相似，则可方便求出A的幂及A的多项式.1特征值与特征向量、相似矩阵§2矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化一、矩阵可对角化的条件二、实对称矩阵的对角化1特征值与特征向量、相似矩阵称矩阵A可对角化.定义1：矩阵A是一个阶方阵，若存在可逆矩阵，使为对角矩阵，即A与对角矩阵相似，则一、矩阵可对角化的条件定理1：设矩阵A是一个阶方阵，则A可对角化有个线性无关的特征向量.推论若n阶矩阵A有n个不同特征值，则A可对角化.1特征值与特征向量、相似矩阵定理2：设矩阵A是一个阶方阵，则A可对角化属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数等于

7、该特征值的重数.对角化的判断步骤:1°求出矩阵A的全部互不相等的特征值2°对每一个特征值　，求出齐次线性方程组1特征值与特征向量、相似矩阵的一个基础解系（此即A的属于的全部线性无关的特征向量）.3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则矩阵A可对角化；否则A不可对角化.4°以这些解向量为列，作一个n阶方阵P，则P可逆，就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是A的互不相等的特征值.1特征值与特征向量、相似矩阵例1.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使为对角矩阵.这里得A的特征值是2，2，-7.解:A的特征多项式为1特征值与特征向量、相似矩阵对于特征值2，求出齐

8、次线性方程组对于特征值－7，求出齐次方