线性代数课件--6.1矩阵的特征值与特征向量.ppt

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1、第六章矩阵特征值问题本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念,利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法,并给出矩阵对角化的条件,介绍实对称矩阵对角化的方法.本章的主要内容§6.1矩阵的特征值与特征向量§6.2相似矩阵与矩阵对角化§6.3实对称矩阵的对角化1.矩阵的特征值与特征向量的定义3.矩阵的特征值与特征向量的性质§6.1矩阵的特征值与特征向量2.矩阵的特征值与特征向量的计算1、基本概念定义设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零向量x满足Ax=lx，那么数l称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值l的特征向量．注特征值和特征向量只针对方阵而言．例则l=1为矩阵的

2、特征值；为对应于l=1的特征向量.2、特征值与特征向量的计算已知所以齐次线性方程组有非零解.特征方程特征多项式特征方程A−lI=0特征多项式f(l)=A−lI(l为未知数的一元n次多项式)求特征值、特征向量的方法:求出即为特征值;把得到的特征值代入上式,求齐次线性方程组的非零解x,即为所求特征向量.特征值就是特征方程的根．注在复数范围内n阶矩阵有n个特征值(重根按重数计算)称集合{1,…,n}为矩阵A的谱(spectrum).将{1,1,…,n}的最大值称为A的谱半径,记作ρ(A),即例解例解解第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.例求矩阵的特征值和特征向量.特征值为第二

3、步：对每个特征值代入齐次方程组求非零解.,齐次线性方程组为系数矩阵解例求矩阵的特征值和特征向量.特征值为得基础解系是对应于系数矩阵解例求矩阵的特征值和特征向量.特征值为得基础解系是对应于齐次线性方程组为性质1设n阶方阵A的n个特征值为则矩阵A的主对角元素之和称为矩阵A的迹.3、特征值和特征向量的性质若A的特征值是,x是A的对应于的特征向量,性质2(1)kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)证再继续施行上述步骤m-2次,就得若A的特征值是,X是A的对应于的特征向量,性质2(1)kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1,的

4、特征值是且x仍然是矩阵分别对应于的特征向量.证若A的特征值是,X是A的对应于的特征向量,性质2(1)kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1,的特征值是且x仍然是矩阵分别对应于的特征向量.为x的多项式,则f(A)的特征值作业P165.1,2,3,4P170.5P213.6-3，6-6